Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2025 · Varianta 9 · științe ale naturii

Primitive și integraleNumere reale și radicaliTrigonometrie

Se consideră funcția

f : (0, + \infty) \to R

f (x) = \frac{x - 1}{x}

a)
Arătați că $\int_{2}^{4} f (x) x d x = 4$ .
b)
Arătați că $\int_{1}^{4} f (x) d x = \frac{8}{3}$ .
c)
Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $g : [2, 3] \to R$ , $g (x) = \frac{2}{f ( x )}$ , în jurul axei $O x$ este egal cu $π ln (4 e)$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Simplifică expresia de sub integrală înainte de a calcula primitiva.
a)
Înlocuiește $f (x)$ și efectuează produsul $f (x) x$ . Vei obține o funcție polinomială simplă de forma $x - 1$ .
a)
Calculează integrala definită a funcției obținute, folosind formula $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ .
b)
Rescrie funcția $f (x)$ într-o formă mai ușor de integrat, împărțind termenii numărătorului la numitor.
b)
Folosește proprietățile puterilor pentru a scrie $f (x)$ ca o sumă de termeni de forma $x^{n}$ . Astfel, $f (x) = x^{1/2} - x^{- 1/2}$ .
b)
Calculează integrala definită a funcției obținute, aplicând formula de integrare pentru puteri: $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ .
c)
Folosește formula pentru volumul corpului de rotație în jurul axei $O x$ , care este $V = π \int_{a}^{b} [g (x)]^{2} d x$ .
c)
Simplifică expresia funcției $g (x)$ prin înlocuirea lui $f (x)$ și apoi calculează $[g (x)]^{2}$ . Vei obține $g (x) = \frac{2 x}{x - 1}$ , deci $[g (x)]^{2} = \frac{2 x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}}$ .
c)
Pentru a calcula integrala $\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}} d x$ , rescrie fracția ca $1 + \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}$ și apoi integrează termen cu termen.

Primitive și integrale, din alte variante, de la ușor la greu.