Matematică

Polinoame — Subiectul II. 2

mediuBacalaureat 2026 · Varianta 2 · tehnologic

Polinoame

Se consideră polinomul

f = X^{3} - 4 X^{2} + a X - 2

, unde

a

este număr real.

a)
Pentru $a = 5$ , arătați că $f (1) = 0$ .
b)
Pentru $a = 3$ , arătați că $x_{1} x_{2} x_{3} + 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{1} x_{3} + 2 x_{2} x_{3} = 8$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .
c)
Se consideră polinoamele $g = X - 3$ și $h = X + 2$ . Determinați numărul real $a$ pentru care restul împărțirii polinomului $f$ la $g$ este egal cu restul împărțirii polinomului $g$ la $h$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a arăta că $f (1) = 0$ , trebuie să evaluați polinomul $f (X)$ în punctul $X = 1$ .
a)
Înlocuiți valoarea lui $a$ dată în enunț în expresia polinomului $f (X)$ înainte de a calcula.
a)
Calculați $f (1)$ înlocuind $X$ cu $1$ în expresia $f (X) = X^{3} - 4 X^{2} + 5 X - 2$ .
b)Problema implică rădăcinile unui polinom de gradul trei. Gândiți-vă la relațiile dintre rădăcini și coeficienții polinomului.
b)
Folosiți relațiile lui Viète pentru un polinom de gradul trei $P (X) = c_{3} X^{3} + c_{2} X^{2} + c_{1} X + c_{0}$ , în special pentru suma produselor rădăcinilor luate câte două și produsul rădăcinilor.
b)
Identificați coeficienții polinomului $f (X) = X^{3} - 4 X^{2} + 3 X - 2$ și calculați $x_{1} x_{2} x_{3}$ și $x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}$ . Apoi, rescrieți expresia dată grupând termenii.
c)
Pentru a determina restul împărțirii unui polinom la un binom de forma $X - c$ , nu este necesar să efectuați împărțirea. Ce teoremă vă permite să găsiți restul direct?
c)
Aplicați teorema restului: restul împărțirii unui polinom $P (X)$ la $X - c$ este $P (c)$ .
c)
Calculați restul împărțirii lui $f (X)$ la $g (X) = X - 3$ și restul împărțirii lui $g (X) = X - 3$ la $h (X) = X + 2$ . Apoi, egalați cele două expresii pentru a găsi valoarea lui $a$ .

Polinoame, din alte variante, de la ușor la greu.