Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2025 · Varianta 3 · tehnologic

Primitive și integraleTrigonometrieNumere reale și radicali

Se consideră funcția

f : (- 3, + \infty) \to R

f (x) = 2 x + x + 3

a)
Arătați că $\int_{1}^{2} (f (x) - x + 3) d x = 3$ .
b)
Arătați că $\int_{1}^{6} \frac{1}{f ( x ) - 2 x} d x = 2$ .
c)
Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $g : [0, 6] \to R$ , $g (x) = \frac{x}{f ( x ) - 2 x}$ , în jurul axei $O x$ este egal cu $9 π ln 3$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Începeți prin a înlocui expresia funcției $f (x)$ în integrala dată, adică $f (x) = 2 x + x + 3$ .
a)
Simplificați expresia de sub integrală, $(f (x) - x + 3)$ , după înlocuire. Veți obține o funcție mult mai simplă de integrat.
a)
Calculați integrala definită a funcției simplificate, folosind formula Newton-Leibniz: $\int_{a}^{b} h (x) d x = H (b) - H (a)$ , unde $H^{'} (x) = h (x)$ .
b)
Simplificați mai întâi expresia din numitor, $f (x) - 2 x$ , folosind definiția funcției $f (x) = 2 x + x + 3$ .
b)
După simplificare, veți obține o integrală de forma $\int \frac{1}{u} d u$ . Gândiți-vă la derivata funcției radical.
b)
Folosiți faptul că $(x + 3)^{'} = \frac{1}{2 x + 3}$ pentru a găsi primitiva funcției de sub integrală.
c)
Formula pentru volumul corpului de rotație în jurul axei $O x$ este $V = π \int_{a}^{b} (g (x))^{2} d x$ . Începeți prin a simplifica expresia funcției $g (x) = \frac{x}{f ( x ) - 2 x}$ .
c)
După ce ați simplificat $g (x)$ , înlocuiți-o în formula volumului și calculați $(g (x))^{2}$ pentru a obține integrandul.
c)
Pentru a calcula integrala $\int_{0}^{6} \frac{x ^{2}}{x + 3} d x$ , puteți folosi descompunerea fracției, de exemplu, scriind $x^{2} = x^{2} - 9 + 9 = (x - 3) (x + 3) + 9$ , sau prin împărțirea polinoamelor.

Primitive și integrale, din alte variante, de la ușor la greu.