Matematică

Limite și continuitate — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2026 · Varianta 2 · tehnologic

Limite și continuitateDerivate și funcțiiGeometrie analitică

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = \frac{2 x + 1}{x ^{2} + 6}

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{2 ( x + 3 ) ( 2 - x )}{( x ^{2} + 6 ) ^{2}}$ , $x \in R$ .
b)
Arătați că $lim_{x \to + \infty} (x \cdot f (x)) = 2$ .
c)
Determinați numerele reale $a$ pentru care tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = a$ , situat pe graficul funcției $f$ , are panta egală cu $0$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula derivata unei funcții de forma unei fracții, trebuie să folosiți regula de derivare a câtului.
a)
Formula pentru derivata unui cât de funcții $u / v$ este $(u / v)^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .
a)
Identificați $u (x) = 2 x + 1$ și $v (x) = x^{2} + 6$ , calculați derivatele acestora și înlocuiți-le în formulă, apoi simplificați expresia obținută.
b)
Începeți prin a înlocui expresia funcției $f (x)$ în limita dată, pentru a obține o singură fracție.
b)
Pentru a calcula limita unei funcții raționale la infinit, împărțiți toți termenii din numărător și numitor la cea mai mare putere a lui $x$ din numitor.
b)
După înlocuire, expresia devine $lim_{x \to + \infty} \frac{x ( 2 x + 1 )}{x ^{2} + 6} = lim_{x \to + \infty} \frac{2 x ^{2} + x}{x ^{2} + 6}$ . Împărțiți numărătorul și numitorul la $x^{2}$ .
c)Panta tangentei la graficul unei funcții într-un punct este dată de valoarea derivatei funcției în acel punct.
c)
Condiția ca panta tangentei să fie egală cu $0$ se traduce prin ecuația $f^{'} (a) = 0$ .
c)
Folosiți expresia lui $f^{'} (x)$ de la subpunctul a) și egalați numărătorul cu zero pentru a găsi valorile lui $a$ .

Derivate și funcții, din alte variante, de la ușor la greu.