Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2026 · Varianta 7 · tehnologic

Primitive și integraleNumere reale și radicali

Se consideră funcția

f : (0, + \infty) \to R

f (x) = 4 x + 3 - 6 x

a)
Arătați că $\int_{1}^{2} (f (x) - 3 + 6 x) d x = 6$ .
b)
Arătați că $\int_{1}^{4} \frac{4 x - f ( x )}{x} d x = 12$ .
c)
Demonstrați că orice primitivă $G : (0, + \infty) \to R$ a funcției $g : (0, + \infty) \to R$ , $g (x) = f (x) \cdot x$ este convexă.

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Substituie expresia lui $f (x)$ în integrală și simplifică termenii din interiorul acesteia.
a)
Observă că termenii cu $3$ și $6 x$ se vor anula, lăsând o expresie simplă de integrat.
a)
Calculează integrala definită a funcției rămase, folosind formula $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ și aplicând limitele de integrare.
b)
Substituie expresia lui $f (x)$ în numărătorul fracției din integrală și simplifică expresia obținută.
b)
După substituție, vei avea $\frac{4 x - ( 4 x + 3 - 6 x )}{x}$ . Simplifică numărătorul și apoi împarte fiecare termen la $x$ .
b)
Transformă termenii rămași în puteri ale lui $x$ (ex: $\frac{1}{x} = x^{- 1/2}$ ) și calculează integrala definită.
c)
O funcție $G$ este convexă dacă a doua sa derivată, $G^{''} (x)$ , este mai mare sau egală cu zero pe domeniul de definiție.
c)
Deoarece $G$ este o primitivă a lui $g$ , avem $G^{'} (x) = g (x)$ . Prin urmare, trebuie să calculezi $g^{'} (x)$ și să arăți că este non-negativă.
c)
Începe prin a calcula $g (x) = f (x) \cdot x$ . Apoi, derivează $g (x)$ și simplifică expresia obținută pentru a demonstra că este $\geq 0$ pentru orice $x \in (0, + \infty)$ .

Primitive și integrale, din alte variante, de la ușor la greu.