Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2026 · Varianta 3 · tehnologic

Primitive și integraleDerivate și funcțiiTrigonometrieNumere reale și radicali

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = x + 1 + x e^{x}

a)
Arătați că $\int_{0}^{4} (f (x) - x e^{x}) d x = 12$ .
b)
Arătați că $\int_{0}^{1} (f (x) - x - 1) d x = 1$ .
c)
Se consideră funcția $g : [0, 1] \to R$ , $g (x) = \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$ . Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $g$ în jurul axei $O x$ este egal cu $\frac{π ( e + 1 )}{e + 2}$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a rezolva integrala, începeți prin a simplifica expresia din interiorul acesteia, înlocuind $f (x)$ cu definiția sa.
a)
După simplificare, veți obține o integrală a unei funcții polinomiale. Aplicați proprietatea de liniaritate a integralei și formula de integrare pentru puteri: $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ .
a)
Calculați integrala definită a expresiei simplificate, evaluând primitiva în limitele de integrare $4$ și $0$ conform formulei lui Leibniz-Newton: $\int_{a}^{b} h (x) d x = H (b) - H (a)$ .
b)
Ca și la subpunctul anterior, primul pas este să simplificați expresia din interiorul integralei, înlocuind $f (x)$ cu forma sa explicită.
b)
După simplificare, veți ajunge la integrala funcției $x e^{x}$ . Această integrală se calculează folosind metoda integrării prin părți: $\int u d v = uv - \int v d u$ .
b)
Pentru $\int x e^{x} d x$ , alegeți $u = x$ și $d v = e^{x} d x$ . Calculați $d u$ și $v$ , apoi aplicați formula de integrare prin părți și evaluați integrala definită în limitele $0$ și $1$ .
c)
Volumul corpului de rotație în jurul axei $O x$ este dat de formula $V = π \int_{a}^{b} [g (x)]^{2} d x$ . De asemenea, va trebui să calculați derivata funcției $f (x)$ .
c)
Înlocuiți $g (x) = \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$ în formula volumului. Veți obține o integrală de forma $π \int_{0}^{1} \frac{f ^{'} ( x )}{( f ( x ) ) ^{2}} d x$ .
c)
Calculați $f^{'} (x)$ . Recunoașteți că integrala $\int \frac{u ^{'} ( x )}{( u ( x ) ) ^{2}} d x$ are o primitivă de forma $- \frac{1}{u ( x )} + C$ . Aplicați această regulă pentru $u (x) = f (x)$ și evaluați integrala definită.

Exersează același capitol

Primitive și integrale, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 36 de exerciții din Primitive și integrale →