Matematică

Derivate și funcții — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2025 · Varianta 3 · tehnologic

Derivate și funcțiiGeometrie analiticăEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : (- 4, + \infty) \to R

f (x) = \frac{4 x + 7}{x + 4}

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{9}{( x + 4 ) ^{2}}$ , $x \in (- 4, + \infty)$ .
b)
Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+ \infty$ la graficul funcției $f$ .
c)
Determinați $a \in (- 4, + \infty)$ , știind că panta tangentei la graficul funcției $f$ în punctul $A (a, f (a))$ este egală cu $1$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula derivata unei funcții de forma unei fracții, unde atât numărătorul cât și numitorul sunt funcții, trebuie să folosiți regula de derivare a câtului.
a)
Formula de derivare a câtului este $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ . Identificați $u (x)$ și $v (x)$ din funcția dată.
a)
Calculați derivatele $u^{'} (x)$ și $v^{'} (x)$ pentru $u (x) = 4 x + 7$ și $v (x) = x + 4$ , apoi înlocuiți-le în formula derivatei câtului și simplificați expresia.
b)
Asimptota orizontală a unei funcții raționale se determină calculând limita funcției când $x$ tinde spre $+ \infty$ (sau $- \infty$ ).
b)
Ecuația asimptotei orizontale este $y = L$ , unde $L = lim_{x \to + \infty} f (x)$ .
b)
Calculați $lim_{x \to + \infty} \frac{4 x + 7}{x + 4}$ împărțind atât numărătorul, cât și numitorul la cea mai mare putere a lui $x$ din numitor.
c)Panta tangentei la graficul unei funcții într-un punct este dată de valoarea derivatei funcției în acel punct.
c)
Dacă panta tangentei în punctul $A (a, f (a))$ este egală cu 1, atunci trebuie să rezolvați ecuația $f^{'} (a) = 1$ .
c)
Folosiți expresia derivatei $f^{'} (x) = \frac{9}{( x + 4 ) ^{2}}$ obținută la subpunctul a) și înlocuiți $x$ cu $a$ , apoi egalați rezultatul cu 1 și rezolvați ecuația pentru $a$ , ținând cont de domeniul de definiție $a \in (- 4, + \infty)$ .

Derivate și funcții, din alte variante, de la ușor la greu.