Matematică

Limite și continuitate — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2026 · Varianta 7 · tehnologic

Limite și continuitateDerivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : (0, + \infty) \to R

f (x) = \frac{3}{x} - 1 + 3 ln x

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{3 ( x - 1 )}{x ^{2}}$ , $x \in (0, + \infty)$ .
b)
Arătați că $lim_{x \to + \infty} \frac{f ( x )}{x} = 0$ .
c)
Demonstrați că $ln x \geq 1 - \frac{1}{x}$ , pentru orice $x \in (0, + \infty)$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula derivata unei sume de funcții, derivați fiecare termen în parte.
a)
Reamintiți-vă regulile de derivare pentru funcțiile de tip putere $x^{n}$ și pentru funcția logaritm natural $ln x$ . Derivata lui $\frac{1}{x}$ este $- \frac{1}{x ^{2}}$ , iar derivata lui $ln x$ este $\frac{1}{x}$ .
a)
Aplicați aceste reguli pentru fiecare termen al funcției $f (x)$ și apoi aduceți rezultatul la un numitor comun pentru a obține forma cerută.
b)
Identificați forma nedeterminată a limitei $lim_{x \to + \infty} \frac{f ( x )}{x}$ și alegeți o metodă potrivită de calcul.
b)Puteți aplica regula lui L'Hôpital, derivând separat numărătorul și numitorul.
b)Calculați derivatele și apoi evaluați limita expresiei obținute.
c)
Pentru a demonstra o inegalitate de forma $A (x) \geq B (x)$ , puteți defini o funcție ajutătoare $g (x) = A (x) - B (x)$ și să-i studiați variația.
c)
Calculați derivata funcției $g (x) = ln x - (1 - \frac{1}{x}) = ln x + \frac{1}{x} - 1$ și determinați punctele critice și intervalele de monotonie.
c)
Determinați valoarea minimă a funcției $g (x)$ pe intervalul $(0, + \infty)$ și arătați că această valoare este mai mare sau egală cu zero.

Limite și continuitate, din alte variante, de la ușor la greu.