Matematică

Limite și continuitate — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2026 · Varianta 3 · științe ale naturii

Limite și continuitateDerivate și funcțiiGeometrie analitică

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = e^{x} (2 x^{2} - 3 x)

a)
Arătați că $f^{'} (x) = e^{x} (2 x + 3) (x - 1)$ , $x \in R$ .
b)
Arătați că $lim_{x \to 0} \frac{f ( x ) - x}{f ( x ) + x} = 2$ .
c)
Determinați numerele reale $a$ pentru care tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = a$ , situat pe graficul funcției $f$ , are panta egală cu $0$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula derivata unei funcții care este un produs de două funcții, trebuie să aplicați regula de derivare a produsului.
a)
Formula pentru derivata unui produs de funcții $u (x) v (x)$ este $(u (x) v (x))^{'} = u^{'} (x) v (x) + u (x) v^{'} (x)$ . Identificați $u (x)$ și $v (x)$ în expresia lui $f (x)$ .
a)
Calculați derivatele $u^{'} (x)$ și $v^{'} (x)$ , apoi înlocuiți-le în formula produsului și factorizați $e^{x}$ pentru a obține forma dorită.
b)
Începeți prin a evalua direct limita prin înlocuirea lui $x = 0$ în expresia limitei. Ce formă de nedeterminare obțineți?
b)
Dacă obțineți o formă de nedeterminare de tipul $\frac{0}{0}$ , puteți aplica Regula lui L'Hôpital pentru a calcula limita.
b)
Aplicați Regula lui L'Hôpital derivând separat numărătorul și numitorul, apoi calculați limita expresiei obținute. Nu uitați să folosiți $f^{'} (x)$ de la subpunctul a).
c)Panta tangentei la graficul unei funcții într-un punct este dată de valoarea derivatei funcției în acel punct.
c)
Dacă panta tangentei este egală cu $0$ , înseamnă că derivata funcției în punctul de abscisă $x = a$ trebuie să fie $0$ , adică $f^{'} (a) = 0$ .
c)
Egalați expresia lui $f^{'} (a)$ (obținută la subpunctul a) cu $0$ și rezolvați ecuația pentru a determina valorile reale ale lui $a$ .

Limite și continuitate, din alte variante, de la ușor la greu.