Matematică

Limite și continuitate — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2026 · Varianta Model · tehnologic

Limite și continuitateDerivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = \frac{1}{x ^{2} + 4 x + 5}

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{- 2 ( x + 2 )}{( x ^{2} + 4 x + 5 ) ^{2}}$ , $x \in R$ .
b)
Arătați că $lim_{x \to + \infty} (x^{2} - 1) \cdot f (x) = 1$ .
c)
Demonstrați că $5 f (x) + f (- x) \leq 2$ , pentru orice $x \in [0, + \infty)$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Identificați formula de derivare potrivită pentru o funcție de forma $\frac{1}{u ( x )}$ .
a)
Folosiți formula $(\frac{1}{u ( x )})^{'} = - \frac{u ^{'} ( x )}{( u ( x ) ) ^{2}}$ pentru a calcula derivata.
a)
Aplicați formula pentru $u (x) = x^{2} + 4 x + 5$ și simplificați expresia obținută în numărător.
b)
Rescrieți expresia limitei ca o fracție rațională, înlocuind $f (x)$ .
b)
Pentru a calcula limita unei funcții raționale la $+ \infty$ , împărțiți atât numărătorul, cât și numitorul la cea mai mare putere a lui $x$ din numitor.
b)
După împărțire, evaluați limita termenilor de forma $\frac{c}{x ^{k}}$ când $x \to + \infty$ .
c)
Analizați monotonia funcției $f (x)$ pe intervale, folosind semnul derivatei $f^{'} (x)$ .
c)
Determinați valorile maxime ale funcției $f (x)$ pentru $x \in [0, + \infty)$ și ale funcției $f (- x)$ pentru $- x \in (- \infty, 0]$ .
c)
Folosiți faptul că $f (x) \leq f (0)$ pentru $x \in [0, + \infty)$ și $f (- x) \leq f (- 2)$ pentru $- x \in (- \infty, 0]$ pentru a demonstra inegalitatea.

Limite și continuitate, din alte variante, de la ușor la greu.