Matematică

Polinoame — Subiectul II. 2

mediuBacalaureat 2025 · Varianta 1 · tehnologic

Polinoame

Se consideră polinomul

f = X^{3} - 3 X^{2} + X + m

, unde

m

este număr real.

a)
Pentru $m = 1$ , arătați că $f (1) = 0$ .
b)
Determinați numărul real $m$ pentru care $2 x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = 1 + x_{1} x_{2} x_{3}$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .
c)
Știind că restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X - 2$ este $- 5$ , arătați că $f$ este divizibil cu polinomul $X^{2} + 1$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a verifica o valoare a unui polinom într-un punct, trebuie să substitui acea valoare în expresia polinomului.
a)
Mai întâi, înlocuiește $m = 1$ în expresia polinomului $f (X)$ .
a)
Apoi, calculează $f (1)$ prin substituirea lui $X = 1$ în polinomul obținut.
b)Relațiile lui Viète leagă coeficienții unui polinom de sumele și produsele rădăcinilor sale.
b)
Pentru un polinom de gradul trei $a X^{3} + b X^{2} + c X + d$ , sumele rădăcinilor sunt $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - b / a$ și produsul este $x_{1} x_{2} x_{3} = - d / a$ .
b)
Folosește aceste relații pentru a exprima $2 x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3}$ și $x_{1} x_{2} x_{3}$ în funcție de coeficienții lui $f$ , apoi egalează cu expresia dată pentru a găsi $m$ .
c)
Teorema restului afirmă că restul împărțirii unui polinom $f (X)$ la $X - a$ este $f (a)$ .
c)
Folosește teorema restului pentru a determina valoarea lui $m$ din condiția că restul împărțirii lui $f$ la $X - 2$ este $- 5$ .
c)
Odată ce ai valoarea lui $m$ , pentru a arăta că $f$ este divizibil cu $X^{2} + 1$ , poți efectua împărțirea polinomului $f$ la $X^{2} + 1$ și să arăți că restul este zero, sau poți verifica dacă rădăcinile lui $X^{2} + 1$ sunt și rădăcini ale lui $f$ .

Polinoame, din alte variante, de la ușor la greu.