Matematică

Polinoame — Subiectul II. 2

mediuBacalaureat 2025 · Varianta 9 · tehnologic

Polinoame

Se consideră polinomul

f = X^{3} + m X^{2} - X - m

, unde

m

este număr real.

a)
Arătați că $f (1) = 0$ , pentru orice număr real $m$ .
b)
Pentru $m = - 3$ , arătați că $3$ este rădăcină a polinomului $f$ .
c)
Determinați numărul real $m$ pentru care $(x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3})^{2} + x_{1} x_{2} x_{3} (x_{1} + x_{2} + x_{3}) = 1$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a arăta că $f (1) = 0$ , trebuie să evaluezi polinomul $f (X)$ în punctul $X = 1$ .
a)
Substituie valoarea $1$ în locul lui $X$ în expresia polinomului $f (X) = X^{3} + m X^{2} - X - m$ .
a)
Calculează $f (1)$ și observă cum se simplifică termenii, arătând că rezultatul este $0$ indiferent de valoarea lui $m$ .
b)Reține că un număr este rădăcină a unui polinom dacă, atunci când este substituit în polinom, rezultatul este zero.
b)
Mai întâi, înlocuiește $m = - 3$ în expresia polinomului $f (X)$ , obținând $f (X) = X^{3} - 3 X^{2} - X + 3$ .
b)
Apoi, evaluează acest nou polinom în punctul $X = 3$ , adică calculează $f (3)$ , și verifică dacă obții $0$ .
c)Pentru a rezolva această problemă, folosește relațiile lui Viète, care leagă rădăcinile unui polinom de coeficienții săi.
c)
Identifică sumele lui Viète pentru polinomul $f (X) = X^{3} + m X^{2} - X - m$ : $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ , $x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}$ și $x_{1} x_{2} x_{3}$ .
c)
Substituie aceste expresii, în funcție de $m$ , în ecuația dată $(x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3})^{2} + x_{1} x_{2} x_{3} (x_{1} + x_{2} + x_{3}) = 1$ și rezolvă ecuația rezultată pentru $m$ .

Polinoame, din alte variante, de la ușor la greu.