Matematică

Polinoame, Subiectul II. 2

mediuBacalaureat 2024 · Varianta 9 · tehnologic

Polinoame

Se consideră polinomul

f = X^{3} - 3 X^{2} + m X - 1

, unde

m

este număr real.

a)
Arătați că $f (0) = - 1$ , pentru orice număr real $m$ .
b)
Arătați că $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 3 x_{1} x_{2} x_{3}$ , pentru orice număr real $m$ , unde $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .
c)
Determinați numărul real $m$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X - 1$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a arăta că $f (0) = - 1$ , trebuie să evaluezi polinomul $f (X)$ în punctul $X = 0$ .
a)
Reține că evaluarea unui polinom într-un punct înseamnă să înlocuiești variabila $X$ cu valoarea respectivă în expresia polinomului.
a)
Înlocuiește fiecare apariție a lui $X$ cu $0$ în expresia polinomului $f = X^{3} - 3 X^{2} + m X - 1$ și calculează valoarea obținută.
b)Problema se referă la relațiile dintre rădăcinile și coeficienții unui polinom. Gândește-te la formulele lui Viète.
b)
Pentru un polinom de gradul trei $a X^{3} + b X^{2} + c X + d = 0$ , sumele rădăcinilor sunt date de $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - b / a$ și produsul rădăcinilor de $x_{1} x_{2} x_{3} = - d / a$ .
b)
Identifică coeficienții $a, b, c, d$ ai polinomului $f$ și calculează $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ și $x_{1} x_{2} x_{3}$ . Apoi, verifică dacă relația dată în enunț este satisfăcută.
c)
Condiția ca un polinom $f (X)$ să fie divizibil cu $X - a$ este legată de Teorema Restului sau Teorema Factorului.
c)
Conform Teoremei Factorului, un polinom $f (X)$ este divizibil cu $X - a$ dacă și numai dacă $f (a) = 0$ .
c)
Aplică această teoremă pentru $X - 1$ , adică $a = 1$ . Calculează $f (1)$ și egalează rezultatul cu zero pentru a determina valoarea lui $m$ .

Polinoame, din alte variante, de la ușor la greu.