Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2026 · Varianta Simulare · mate-info

Primitive și integraleDerivate și funcții

Se consideră funcția

f : (0, + \infty) \to R

f (x) = (4 x + \frac{6}{x ^{2}}) ln x

a)
Arătați că $\int_{2}^{3} \frac{f ( x )}{l n x} d x = 11$ .
b)
Arătați că $\int_{1}^{e} x (f (x) - 4 x ln x) d x = 3$ .
c)
Determinați primitiva $F : (0, + \infty) \to R$ a funcției $f$ , pentru care axa $O x$ este tangentă la graficul funcției $F$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Începeți prin a simplifica expresia $\frac{f ( x )}{l n x}$ folosind definiția funcției $f (x)$ .
a)
Calculați primitiva funcției obținute, care este o sumă de funcții putere de forma $x^{n}$ .
a)
Aplicați formula Leibniz-Newton pentru a evalua integrala definită între limitele $2$ și $3$ .
b)
Simplificați expresia $x (f (x) - 4 x ln x)$ de sub integrală, înlocuind $f (x)$ cu forma sa dată.
b)
Observați forma funcției rezultate și gândiți-vă la o metodă de integrare, cum ar fi substituția sau recunoașterea unei derivate de funcție compusă, de exemplu de forma $u^{'} (x) u (x)$ .
b)
Evaluați integrala definită folosind formula Leibniz-Newton pentru limitele de integrare $1$ și $e$ .
c)
Condiția ca axa $O x$ să fie tangentă la graficul funcției $F$ într-un punct $(a, F (a))$ înseamnă că $F (a) = 0$ și $F^{'} (a) = 0$ . Deoarece $F$ este o primitivă a lui $f$ , $F^{'} (x) = f (x)$ .
c)
Determinați valoarea lui $a$ rezolvând ecuația $f (a) = 0$ . Apoi, calculați primitiva generală $F (x) = \int f (x) d x$ folosind metoda integrării prin părți.
c)
Folosiți condiția $F (a) = 0$ (cu valoarea lui $a$ găsită anterior) pentru a determina constanta de integrare $C$ și a obține primitiva particulară $F (x)$ .

Primitive și integrale, din alte variante, de la ușor la greu.