Matematică

Derivate și funcții — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2026 · Varianta 3 · mate-info

Derivate și funcțiiPrimitive și integraleLimite și continuitate

Se consideră funcția

f : (1, + \infty) \to R

f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x l n x}

a)
Arătați că $\int_{2}^{3} f (x) x ln x d x = \frac{7}{3}$ .
b)
Arătați că $\int_{e}^{e^{2}} \frac{f ( x )}{x ^{2} - 4} d x = ln 2$ .
c)
Arătați că $lim_{x \to 2} \frac{1}{F ^{2} ( x )} \int_{2}^{x} (t - 2) F (t) d t = \frac{l n 2}{4}$ , unde $F : (1, + \infty) \to R$ este primitiva funcției $f$ pentru care $F (2) = 0$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Începeți prin a substitui expresia funcției $f (x)$ în integrala dată și simplificați termenii.
a)
Observați că termenul $x ln x$ se simplifică, lăsând o funcție polinomială de integrat.
a)Calculați integrala definită a expresiei simplificate, folosind formula Newton-Leibniz pentru a evalua primitiva la limitele de integrare.
b)
Substituiți expresia lui $f (x)$ în integrand și simplificați fracția, eliminând termenul $x^{2} - 4$ .
b)
După simplificare, veți obține integrala $\int_{e}^{e^{2}} \frac{1}{x l n x} d x$ . Recunoașteți că $\frac{1}{x l n x}$ este derivata unei funcții logaritmice compuse sau folosiți substituția $u = ln x$ .
b)
Calculați integrala definită folosind primitiva obținută și evaluați-o la limitele de integrare $e$ și $e^{2}$ .
c)
Observați că limita este de forma $\frac{0}{0}$ (nedeterminare), deoarece $F (2) = 0$ și integrala de la $2$ la $2$ este $0$ . Aplicați regula lui L'Hôpital.
c)
Pentru a aplica L'Hôpital, derivați separat numărătorul și numitorul. Pentru numărător, folosiți teorema fundamentală a calculului integral: $\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} g (t) d t = g (x)$ . Pentru numitor, folosiți regula de derivare a unei funcții compuse: $(F^{2} (x))^{'} = 2 F (x) F^{'} (x)$ .
c)
Simplificați expresia obținută după derivare și folosiți faptul că $F^{'} (x) = f (x)$ și $F (2) = 0$ . S-ar putea să fie necesar să aplicați din nou L'Hôpital sau să simplificați algebric expresia lui $f (x)$ pentru a calcula limita finală.

Exersează același capitol

Limite și continuitate, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 27 de exerciții din Limite și continuitate →