Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2026 · Varianta Model · mate-info

Primitive și integraleLimite și continuitateNumere reale și radicali

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = x^{2} - 2 + x^{2} + 4

a)
Arătați că $\int_{0}^{3} (f (x) - x^{2} + 4) d x = 3$ .
b)
Arătați că $\int_{0}^{5} \frac{x}{f ( x ) - x ^{2} + 2} d x = 1$ .
c)
Demonstrați că $lim_{x \to 0} \frac{1}{x ^{2}} \int_{0}^{x} F (t) d t = 0$ , unde $F : R \to R$ este primitiva funcției $f$ pentru care $F (0) = 0$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Începe prin a simplifica expresia de sub integrală folosind definiția funcției $f (x)$ .
a)
Substituie $f (x)$ în expresia integrală și vei observa că termenii cu radical se reduc, lăsând o funcție polinomială simplă.
a)
Calculează integrala definită a funcției polinomiale rezultate, evaluând-o la limitele de integrare $0$ și $3$ .
b)
Simplifică expresia de sub integrală înlocuind $f (x)$ și reducând termenii similari.
b)
Vei obține o integrală de forma $\int \frac{x}{x ^{2} + 4} d x$ . Gândește-te la o substituție adecvată pentru a rezolva această integrală.
b)
Folosește substituția $u = x^{2} + 4$ , de unde $d u = 2 x d x$ , și ajustează limitele de integrare conform noii variabile.
c)
Această limită este de forma $\frac{0}{0}$ atunci când $x \to 0$ , ceea ce sugerează aplicarea Regulei lui L'Hôpital.
c)Aplică Regula lui L'Hôpital, derivând atât numărătorul, cât și numitorul. Pentru derivata numărătorului, folosește Teorema Fundamentală a Calculului Integral.
c)
Reține că $F^{'} (x) = f (x)$ și că $F (0) = 0$ . După aplicarea L'Hôpital o dată, s-ar putea să fie necesar să o aplici din nou sau să folosești proprietățile funcției $F$ și $f$ .

Limite și continuitate, din alte variante, de la ușor la greu.