Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2025 · Varianta Model · științe ale naturii

Primitive și integraleDerivate și funcții

Se consideră funcția

f : (0, + \infty) \to R

f (x) = x^{2} + 4 ln x

a)
Arătați că $\int_{1}^{2} (f (x) - 4 ln x) d x = \frac{7}{3}$ .
b)
Arătați că $\int_{1}^{e} \frac{f ( x ) - x ^{2}}{x} d x = 2$ .
c)
Determinați numărul real $m$ pentru care $\int_{1}^{2} (f (x) f^{''} (x) + (f^{'} (x))^{2}) d x = m (f (2) - f (1))$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Simplificați expresia de sub integrală folosind definiția funcției $f (x)$ .
a)
După substituție, veți obține o integrală dintr-o funcție putere. Amintiți-vă că $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ .
a)
Calculați $\int_{1}^{2} x^{2} d x$ aplicând formula Newton-Leibniz.
b)
Simplificați expresia de sub integrală folosind definiția funcției $f (x)$ și proprietățile fracțiilor.
b)
După simplificare, veți obține o integrală de forma $\int \frac{l n x}{x} d x$ . Aceasta poate fi rezolvată prin metoda substituției, considerând $u = ln x$ .
b)
Calculați integrala $\int_{1}^{e} 4 \frac{l n x}{x} d x$ după ce ați efectuat substituția și ați ajustat limitele de integrare.
c)Analizați expresia de sub integrală. Recunoașteți că este derivata unei funcții compuse sau a unui produs de funcții.
c)
Integrandul $f (x) f^{''} (x) + (f^{'} (x))^{2}$ reprezintă derivata produsului $(f (x) f^{'} (x))^{'}$ . Aplicați formula Newton-Leibniz pentru a evalua integrala.
c)
Calculați $f^{'} (x)$ și apoi valorile $f (1)$ , $f (2)$ , $f^{'} (1)$ , $f^{'} (2)$ . Înlocuiți aceste valori în egalitatea obținută din integrală și rezolvați pentru $m$ .

Primitive și integrale, din alte variante, de la ușor la greu.