Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2024 · Varianta Model · științe ale naturii

Primitive și integraleDerivate și funcții

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = x^{3} + x + 1

a)
Arătați că $\int_{0}^{2} (f (x) - x^{3}) d x = 4$ .
b)
Arătați că $\int_{0}^{1} \frac{x ^{2}}{f ( x ) - x} d x = \frac{l n 2}{3}$ .
c)
Determinați $a \in (- \infty, 0)$ , știind că $\int_{a}^{0} e^{- x} (f^{'} (x) - f (x)) d x = 1 - a^{3} e^{- a}$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Primul pas este să simplificați expresia de sub integrală, înlocuind $f (x)$ cu forma sa explicită.
a)După simplificare, veți obține o integrală de funcție polinomială. Găsiți primitiva acestei funcții.
a)
Calculați primitiva pentru $\int (x + 1) d x$ și apoi aplicați formula lui Leibniz-Newton, evaluând-o între limitele de integrare $0$ și $2$ .
b)
Începeți prin a simplifica numitorul fracției, $f (x) - x$ , folosind expresia dată pentru $f (x)$ .
b)
După simplificare, integrala va fi de forma $\int_{0}^{1} \frac{x ^{2}}{x ^{3} + 1} d x$ . Observați o legătură între numărător și derivata numitorului.
b)
Folosiți o substituție de variabilă, de exemplu $u = x^{3} + 1$ , sau recunoașteți forma $\int \frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )} d x = ln ∣ g (x) ∣ + C$ .
c)
Calculați mai întâi derivata funcției $f (x)$ , adică $f^{'} (x)$ . Apoi, înlocuiți $f (x)$ și $f^{'} (x)$ în expresia de sub integrală.
c)
Observați că expresia $e^{- x} (f^{'} (x) - f (x))$ este de fapt derivata unui produs de funcții. Gândiți-vă la formula $(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .
c)
Identificați că $(e^{- x} f (x))^{'} = e^{- x} f^{'} (x) - e^{- x} f (x)$ . Astfel, integrala devine $\int_{a}^{0} (e^{- x} f (x))^{'} d x$ . Aplicați formula lui Leibniz-Newton.

Primitive și integrale, din alte variante, de la ușor la greu.