Matematică

Limite și continuitate — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2024 · Varianta Model · științe ale naturii

Limite și continuitateDerivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : (0, + \infty) \to R

f (x) = \frac{x ^{2} - 2}{x} - 3 ln x

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 3 x + 2}{x ^{2}}$ , $x \in (0, + \infty)$ .
b)
Arătați că $lim_{x \to + \infty} \frac{f ( x ) + 3 l n x}{x + 1} = 1$ .
c)
Demonstrați că $\frac{x ^{2} + x - 2}{x} \leq 3 ln x$ , pentru orice $x \in (0, 2]$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula derivata funcției $f (x)$ , folosiți regulile de derivare pentru sumă și pentru cât.
a)
Aplicați formula derivatei unui cât, $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ , pentru termenul $\frac{x ^{2} - 2}{x}$ și rețineți că derivata lui $ln x$ este $\frac{1}{x}$ .
a)
Calculați separat derivata lui $x^{2} - 2$ și a lui $x$ , apoi înlocuiți în formula câtului și efectuați simplificările algebrice necesare.
b)
Începeți prin a înlocui expresia lui $f (x)$ în limita dată și simplificați termenii.
b)
După substituție, veți observa că termenul cu $ln x$ se anulează, lăsând o limită de funcții raționale de tipul $\frac{\infty}{\infty}$ .
b)
Pentru a calcula limita, împărțiți atât numărătorul, cât și numitorul la cea mai mare putere a lui $x$ din numitor, adică $x$ .
c)
Reorganizați inegalitatea dată pentru a o pune în legătură cu funcția $f (x)$ definită, aducând toți termenii într-o parte și comparând cu o constantă.
c)
Folosiți derivata $f^{'} (x)$ calculată la subpunctul a) pentru a studia monotonia funcției $f (x)$ pe intervalul $(0, 2]$ și a identifica punctele de extrem local.
c)
Determinați valoarea maximă a funcției $f (x)$ pe intervalul $(0, 2]$ evaluând $f (x)$ în punctele critice și la capetele intervalului (dacă este cazul), apoi comparați cu valoarea obținută prin reorganizarea inegalității.

Limite și continuitate, din alte variante, de la ușor la greu.