Matematică

Derivate și funcții — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2025 · Varianta 3 · științe ale naturii

Derivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = \frac{x ^{2} - 8}{e ^{x}}

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{( x + 2 ) ( 4 - x )}{e ^{x}}$ , $x \in R$ .
b)
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 0$ , situat pe graficul funcției $f$ .
c)
Demonstrați că $- 4 e^{2} \leq f (x) \leq e^{3}$ , pentru orice $x \in [- 3, 4]$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula derivata unei funcții de forma unui cât, folosiți regula de derivare a câtului.
a)
Formula de derivare a câtului este $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ . Identificați $u (x)$ și $v (x)$ în funcția dată.
a)
Aplicați formula cu $u (x) = x^{2} - 8$ și $v (x) = e^{x}$ , apoi simplificați expresia obținută la numărător pentru a ajunge la forma cerută.
b)Ecuația tangentei la graficul unei funcții într-un punct dat se determină folosind o formulă specifică care implică valoarea funcției și a derivatei în acel punct.
b)
Formula generală a ecuației tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_{0}$ este $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ .
b)
Calculați $f (0)$ și $f^{'} (0)$ folosind funcția originală și derivata obținută la subpunctul a), apoi înlocuiți aceste valori în formula ecuației tangentei.
c)
Pentru a demonstra inegalități de tipul $m \leq f (x) \leq M$ pe un interval închis, trebuie să găsiți valorile minimă și maximă ale funcției pe acel interval.
c)
Determinați punctele critice ale funcției în intervalul $[- 3, 4]$ rezolvând ecuația $f^{'} (x) = 0$ .
c)
Calculați valorile funcției $f (x)$ în punctele critice găsite în interval și la capetele intervalului (adică $f (- 3)$ și $f (4)$ ). Comparați aceste valori pentru a identifica minimul și maximul global pe interval.

Derivate și funcții, din alte variante, de la ușor la greu.