Matematică

Primitive și integrale, Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2024 · Varianta 9 · mate-info

Primitive și integraleTrigonometrie

Se consideră funcția

f : (0, + \infty) \to R

f (x) = x + 1 + x ln x

a)
Arătați că $\int_{1}^{3} (f (x) - x ln x) d x = 6$ .
b)
Arătați că $\int_{1}^{e} (f (x) - x - 1) d x = \frac{e ^{2} + 1}{4}$ .
c)
Determinați numărul real nenul $a$ pentru care volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $O x$ a graficului funcției $g : [1, 3] \to R$ , $g (x) = \frac{1}{( f ( x ) - x l n x ) ^{2}}$ este egal cu $\frac{7 π}{24 a}$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Începeți prin a simplifica expresia de sub integrală, înlocuind $f (x)$ cu forma sa dată și reducând termenii similari.
a)
După simplificare, veți obține o integrală dintr-o funcție polinomială. Folosiți formula de integrare pentru puteri: $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ .
a)
Aplicați formula Leibniz-Newton pentru a evalua integrala definită, calculând valoarea primitivei în limitele superioară și inferioară: $\int_{a}^{b} g (x) d x = G (b) - G (a)$ , unde $G^{'} (x) = g (x)$ .
b)
Simplificați expresia de sub integrală, înlocuind $f (x)$ și reducând termenii care se anulează.
b)
După simplificare, veți obține o integrală de forma $\int x ln x d x$ . Aceasta se rezolvă prin metoda integrării prin părți: $\int u d v = uv - \int v d u$ .
b)
Alegeți $u = ln x$ și $d v = x d x$ , calculați $d u$ și $v$ , apoi aplicați formula de integrare prin părți și evaluați integrala definită în limitele date.
c)
Formula pentru volumul unui corp de rotație în jurul axei $O x$ este $V = π \int_{a}^{b} [g (x)]^{2} d x$ .
c)
Determinați mai întâi forma simplificată a expresiei $f (x) - x ln x$ , apoi înlocuiți-o în $g (x)$ pentru a simplifica funcția $g (x)$ .
c)
Calculați integrala definită pentru volum și egalați rezultatul cu expresia dată $7 π / (24 a)$ pentru a determina valoarea lui $a$ .