Matematică

Derivate și funcții, Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2024 · Varianta 9 · mate-info

Derivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : (1, + \infty) \to R

f (x) = \frac{4 x ^{3}}{( x - 1 ) ^{2}}

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{4 x ^{2} ( x - 3 )}{( x - 1 ) ^{3}}$ , $x \in (1, + \infty)$ .
b)
Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+ \infty$ la graficul funcției $f$ .
c)
Arătați că ecuația $f (x) = m$ are exact două soluții, pentru orice $m \in (27, + \infty)$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula derivata unei funcții de forma $\frac{u ( x )}{v ( x )}$ , se folosește regula de derivare a câtului.
a)
Formula pentru derivata câtului este $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ . Identificați $u (x) = 4 x^{3}$ și $v (x) = (x - 1)^{2}$ .
a)
Calculați $u^{'} (x)$ și $v^{'} (x)$ , apoi înlocuiți-le în formulă și simplificați expresia obținută pentru a ajunge la forma cerută.
b)
Ecuația asimptotei oblice spre $+ \infty$ este de forma $y = m x + n$ , unde $m$ și $n$ se calculează folosind limite.
b)
Calculați panta $m = lim_{x \to + \infty} \frac{f ( x )}{x}$ .
b)
După ce ați determinat $m$ , calculați ordonata la origine $n = lim_{x \to + \infty} (f (x) - m x)$ pentru a finaliza ecuația asimptotei.
c)
Pentru a determina numărul de soluții ale ecuației $f (x) = m$ , analizați variația funcției $f$ folosind derivata sa și limitele la capetele intervalului de definiție.
c)
Determinați punctele critice rezolvând ecuația $f^{'} (x) = 0$ și calculați valorile funcției în aceste puncte, precum și limitele $lim_{x \to 1^{+}} f (x)$ și $lim_{x \to + \infty} f (x)$ .
c)
Construiți tabelul de variație al funcției $f$ și observați cum se comportă graficul. Pe baza acestui tabel, deduceți numărul de intersecții ale dreptei orizontale $y = m$ cu graficul funcției pentru $m \in (27, + \infty)$ .

Derivate și funcții, din alte variante, de la ușor la greu.