Matematică

Matrice și sisteme, Subiectul II. 1

mediuBacalaureat 2024 · Varianta 9 · mate-info

Matrice și sistemeStructuri algebrice

Se consideră matricea

A (x) = 10 x x 01 x x - 1 1

, unde

x

este număr real.

a)
Arătați că $det (A (2)) = 3$ .
b)
Determinați numărul real $x$ pentru care $A (x) \cdot A (1) = 2 A (x)$ .
c)
Arătați că, dacă matricea $A (x)$ este inversabilă, atunci și matricea $A (- x)$ este inversabilă.

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula determinantul unei matrice, trebuie să știi cum se calculează determinantul unei matrice de ordinul $3 \times 3$ .
a)
Începe prin a înlocui $x = 2$ în expresia matricei $A (x)$ pentru a obține matricea $A (2)$ .
a)
Aplică regula lui Sarrus sau dezvoltarea după o linie/coloană pentru a calcula $det (A (2))$ . Reține că semnul termenilor depinde de poziția lor.
b)Acest subpunct implică operații cu matrice: înmulțirea matricelor și înmulțirea unei matrice cu un scalar. Reține că două matrice sunt egale dacă și numai dacă elementele lor corespondente sunt egale.
b)
Calculează mai întâi matricea $A (1)$ , apoi efectuează produsul $A (x) \cdot A (1)$ și produsul scalar $2 A (x)$ .
b)
Egalizează elementele corespunzătoare din matricea produs $A (x) \cdot A (1)$ și matricea $2 A (x)$ pentru a forma un sistem de ecuații, apoi rezolvă pentru $x$ .
c)Reține condiția necesară și suficientă pentru ca o matrice să fie inversabilă. Aceasta este legată de valoarea determinantului său.
c)
Calculează $det (A (x))$ în funcție de $x$ . Apoi, înlocuiește $x$ cu $- x$ în expresia obținută pentru a găsi $det (A (- x))$ .
c)
Dacă $det (A (x)) \neq = 0$ , determină valorile lui $x$ pentru care această condiție este îndeplinită. Apoi, folosește aceste condiții pentru a arăta că $det (A (- x))$ este, de asemenea, nenul.

Matrice și sisteme, din alte variante, de la ușor la greu.