Matematică

Structuri algebrice, Subiectul II. 2

mediuBacalaureat 2024 · Varianta 9 · mate-info

Structuri algebrice

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

x \circ y = x y + \frac{2 x + 2 y - 1}{4}

a)
Arătați că $1 \circ 1 = \frac{7}{4}$ .
b)
Arătați că $e = \frac{1}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „ $\circ$ ”.
c)
Determinați numerele reale $x$ pentru care $(\frac{1}{2} - x) \circ (\frac{1}{2} + x) \circ (\frac{1}{2} + x^{2}) = \frac{1}{2} - x^{2}$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a arăta că $1 \circ 1 = \frac{7}{4}$ , trebuie să aplici direct definiția legii de compoziție dată.
a)
Înlocuiește $x = 1$ și $y = 1$ în formula $x \circ y = x y + \frac{2 x + 2 y - 1}{4}$ .
a)
Calculează expresia $1 \cdot 1 + \frac{2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 1}{4}$ și simplifică rezultatul.
b)
Reține definiția elementului neutru $e$ pentru o lege de compoziție: $x \circ e = e \circ x = x$ pentru orice $x$ din mulțimea dată.
b)
Pentru a arăta că $e = \frac{1}{2}$ este element neutru, trebuie să verifici dacă $x \circ \frac{1}{2} = x$ și $\frac{1}{2} \circ x = x$ folosind definiția legii.
b)
Calculează $x \circ \frac{1}{2}$ înlocuind $y = \frac{1}{2}$ în formula legii și arată că rezultatul este $x$ . Nu uita să verifici și pentru $\frac{1}{2} \circ x$ .
c)Observă structura legii de compoziție și încearcă să o rescrii într-o formă mai simplă, folosind eventual elementul neutru sau o substituție de variabilă.
c)
Rescrie legea de compoziție ca $x \circ y = (x + \frac{1}{2}) (y + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$ . Apoi, extinde această formă la compoziția a trei termeni: $A \circ B \circ C = (A + \frac{1}{2}) (B + \frac{1}{2}) (C + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$ .
c)
Aplică transformarea pentru fiecare termen din partea stângă a ecuației: $A = \frac{1}{2} - x$ , $B = \frac{1}{2} + x$ , $C = \frac{1}{2} + x^{2}$ . Vei obține o ecuație simplă în $x$ de gradul 4.

Structuri algebrice, din alte variante, de la ușor la greu.