Matematică

Unghiuri și drepte — Subiectul III. 6

greuEvaluare Națională 2021 · Varianta Test 9

Unghiuri și drepteCorpuri geometrice

În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat

A B C D

A B = 6 cm

. Punctele

M

N

P

și

Q

aparțin segmentelor

A B

B C

C D

, respectiv

A D

, astfel încât

A M = B N = C P = D Q = 2 cm

a)
Demonstrează că unghiul dintre dreptele $M N$ și $A C$ are măsura de $3 0^{\circ}$ .
b)
Punctul $O$ este mijlocul segmentului $M P$ . Demonstrează că dreapta $M P$ este perpendiculară pe planul $(N O Q)$ .

Indicii

0/6

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a determina unghiul dintre dreptele $M N$ și $A C$ , este util să construiești o dreaptă paralelă cu una dintre ele, care să o intersecteze pe cealaltă.
a)
Consideră un punct $E$ pe segmentul $B C$ astfel încât dreapta $M E$ să fie paralelă cu $A C$ . Folosește reciproca teoremei lui Thales în triunghiul $A B C$ pentru a stabili poziția exactă a punctului $E$ .
a)
Odată ce ai identificat punctul $E$ , demonstrează că triunghiul $M B E$ este echilateral și apoi observă poziția punctului $N$ față de segmentul $B E$ pentru a deduce măsura unghiului $∠ N M E$ .
b)Pentru a demonstra că o dreaptă este perpendiculară pe un plan, trebuie să arăți că dreapta este perpendiculară pe două drepte concurente din acel plan.
b)
Calculează lungimile segmentelor $M N$ , $N P$ , $P Q$ și $QM$ folosind teorema cosinusului în triunghiurile formate pe fețele tetraedrului. Ce fel de patrulater este $M N P Q$ ?
b)
Odată ce ai stabilit natura patrulaterului $M N P Q$ , folosește proprietățile triunghiurilor isoscele $M N P$ și $M QP$ și faptul că $O$ este mijlocul lui $M P$ pentru a arăta că $M P$ este perpendiculară pe două drepte din planul $(N O Q)$ .