Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2026 · Varianta Model · tehnologic

Primitive și integrale

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = 5 x^{2} + 2 x + 1

a)
Arătați că $\int_{0}^{1} (f (x) - 2 x) d x = \frac{8}{3}$ .
b)
Arătați că $\int_{0}^{2} \frac{1}{f ( x ) - 5 x ^{2}} d x = \frac{l n 5}{2}$ .
c)
Determinați primitiva $G : (0, + \infty) \to R$ a funcției $g : (0, + \infty) \to R$ , $g (x) = \frac{f ( x ) - 2 x}{x}$ , pentru care $G (1) = 5$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula integrala, începe prin a simplifica expresia de sub integrală, $f (x) - 2 x$ .
a)
Substituie $f (x) = 5 x^{2} + 2 x + 1$ în expresie și efectuează operațiile. Apoi, aplică formula de integrare pentru puteri: $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ .
a)
Calculează $f (x) - 2 x$ , apoi integrează funcția rezultată termen cu termen și evaluează integrala definită folosind formula Leibniz-Newton: $\int_{a}^{b} h (x) d x = H (b) - H (a)$ , unde $H$ este o primitivă a lui $h$ .
b)
Pentru a rezolva integrala, simplifică mai întâi numitorul fracției, $f (x) - 5 x^{2}$ .
b)
Substituie $f (x) = 5 x^{2} + 2 x + 1$ în expresia de la numitor. Vei obține o integrală de forma $\int \frac{1}{a x + b} d x$ .
b)
După simplificare, vei obține $\int_{0}^{2} \frac{1}{2 x + 1} d x$ . Folosește formula de integrare $\int \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )} d x = ln ∣ u (x) ∣ + C$ și apoi evaluează integrala definită.
c)
Pentru a determina primitiva $G (x)$ , începe prin a simplifica expresia funcției $g (x) = \frac{f ( x ) - 2 x}{x}$ și apoi calculează integrala nedefinită a lui $g (x)$ .
c)
Substituie $f (x) = 5 x^{2} + 2 x + 1$ în expresia lui $g (x)$ , simplifică numărătorul și apoi împarte fiecare termen la $x$ , scriind termenii sub formă de puteri ale lui $x$ (de exemplu, $x^{n /2}$ ).
c)
După simplificare, vei obține $g (x) = 5 x^{3/2} + x^{- 1/2}$ . Integrează termen cu termen folosind formula $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ . Apoi, folosește condiția $G (1) = 5$ pentru a determina valoarea constantei $C$ .

Exersează același capitol

Primitive și integrale, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 36 de exerciții din Primitive și integrale →