Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2026 · Varianta Simulare · tehnologic

Primitive și integraleDerivate și funcții

Se consideră funcția

f : (- 3, + \infty) \to R

f (x) = x + 2 + \frac{2}{x + 3}

a)
Arătați că $\int_{0}^{4} (f (x) - \frac{2}{x + 3}) d x = 16$ .
b)
Arătați că $\int_{1}^{6} (f (x) - x - 2) d x = 4$ .
c)
Determinați numărul real $a$ pentru care $\int_{- 2}^{1} f^{'} (x) (1 + \frac{1}{f ( x )}) d x = ln (2 e^{a})$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Începeți prin a simplifica expresia din interiorul integralei, înlocuind $f (x)$ cu forma sa dată.
a)
După simplificare, veți obține o integrală de funcție polinomială. Folosiți proprietățile de liniaritate ale integralei și formula $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ .
a)
Calculați integrala definită aplicând formula Newton-Leibniz: $\int_{a}^{b} g (x) d x = G (b) - G (a)$ , unde $G (x)$ este o primitivă a lui $g (x)$ .
b)
Simplificați expresia $f (x) - x - 2$ pentru a determina funcția de integrat.
b)
Integrala va fi de forma $\int \frac{k}{a x + b} d x$ . Reamintiți-vă că $\frac{1}{u} = u^{- 1/2}$ și aplicați formula de integrare pentru puteri.
b)Calculați primitiva funcției obținute și apoi evaluați integrala definită folosind limitele de integrare date.
c)
Desfaceți produsul din integrand: $f^{'} (x) (1 + \frac{1}{f ( x )}) = f^{'} (x) + \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$ .
c)
Identificați primitivele pentru fiecare termen: $\int f^{'} (x) d x = f (x)$ și $\int \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} d x = ln ∣ f (x) ∣$ .
c)
Evaluați expresia rezultată la limitele de integrare și egalizați cu $ln (2 e^{a})$ , folosind proprietățile logaritmilor pentru a determina valoarea lui $a$ .

Primitive și integrale, din alte variante, de la ușor la greu.