Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2025 · Varianta 1 · tehnologic

Primitive și integrale

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = x^{2} + 4 x + 8

a)
Arătați că $\int_{0}^{1} (f (x) - x^{2} - 8) d x = 2$ .
b)
Arătați că $\int_{0}^{8} \frac{x}{f ( x ) - 4 x} d x = ln 3$ .
c)
Determinați $a \in (0, + \infty)$ pentru care $\int_{0}^{a} \frac{1}{f ( x ) - 4} d x = \frac{1}{4}$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Începeți prin a simplifica expresia de sub integrală, înlocuind $f (x)$ cu forma sa dată.
a)
După simplificare, veți obține o integrală de tip putere, $\int x^{n} d x$ . Aplicați formula de integrare corespunzătoare.
a)
Calculați integrala definită folosind formula Newton-Leibniz, evaluând primitiva la limitele de integrare $1$ și $0$ .
b)
Simplificați expresia de la numitorul fracției, înlocuind $f (x)$ și reducând termenii similari.
b)
Observați forma integralei obținute: este de tipul $\int \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )} d x$ . Puteți folosi o substituție sau recunoaște direct primitiva.
b)
Calculați integrala definită evaluând primitiva la limitele de integrare $8$ și $0$ și simplificați rezultatul folosind proprietățile logaritmilor.
c)
Simplificați expresia de la numitorul fracției, înlocuind $f (x)$ și reducând termenii similari.
c)
Recunoașteți că numitorul simplificat este un pătrat perfect. Apoi, integrați funcția de forma $\frac{1}{( x + k ) ^{n}}$ .
c)
Evaluați integrala definită la limitele de integrare $a$ și $0$ . Egalați rezultatul cu $\frac{1}{4}$ și rezolvați ecuația pentru a determina valoarea lui $a$ .

Primitive și integrale, din alte variante, de la ușor la greu.