Matematică

Primitive și integrale, Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2024 · Varianta 10 · tehnologic

Primitive și integraleLimite și continuitateDerivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x + 1}

a)
Arătați că $\int_{0}^{1} (x^{2} + x + 1) f (x) d x = 2$ .
b)
Arătați că $\int_{0}^{1} f (x) d x = ln 3$ .
c)
Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $g : R \to R$ , $g (x) = e^{x} (x^{2} + x + 1) f (x)$ , axa $O x$ și dreptele de ecuații $x = 0$ și $x = 1$ are aria egală cu $e + 1$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a simplifica integrala, începe prin a înlocui expresia funcției $f (x)$ în integrală.
a)
Observă cum termenul $(x^{2} + x + 1)$ se simplifică, lăsând o funcție mult mai simplă de integrat.
a)
Calculează integrala definită a funcției rezultate folosind formula Newton-Leibniz: $\int_{a}^{b} h (x) d x = H (b) - H (a)$ , unde $H^{'} (x) = h (x)$ .
b)
Analizează forma funcției $f (x)$ și gândește-te la o regulă de integrare care se aplică fracțiilor cu o anumită relație între numărător și numitor.
b)
Reamintește-ți formula de integrare pentru funcții de tipul $\int \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )} d x = ln ∣ u (x) ∣ + C$ .
b)
Identifică numitorul ca fiind $u (x)$ și verifică dacă numărătorul este derivata acestuia. Apoi, aplică formula și calculează integrala definită.
c)
Aria unei suprafețe delimitate de graficul unei funcții $g (x)$ , axa $O x$ și dreptele $x = a$ , $x = b$ este dată de $\int_{a}^{b} ∣ g (x) ∣ d x$ . Deoarece $g (x) \geq 0$ pe intervalul $[0, 1]$ , aria este $\int_{0}^{1} g (x) d x$ .
c)
Simplifică mai întâi expresia funcției $g (x)$ prin înlocuirea lui $f (x)$ . Vei obține o integrală de forma $\int_{0}^{1} e^{x} \cdot h (x) d x$ .
c)
Integrala $\int_{0}^{1} e^{x} (2 x + 1) d x$ poate fi rezolvată folosind metoda integrării prin părți: $\int u d v = uv - \int v d u$ . Alege $u = 2 x + 1$ și $d v = e^{x} d x$ .