Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2024 · Varianta 10 · tehnologic

Primitive și integraleLimite și continuitateDerivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x + 1}

a)
Arătați că $\int_{0}^{1} (x^{2} + x + 1) f (x) d x = 2$ .
b)
Arătați că $\int_{0}^{1} f (x) d x = ln 3$ .
c)
Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $g : R \to R$ , $g (x) = e^{x} (x^{2} + x + 1) f (x)$ , axa $O x$ și dreptele de ecuații $x = 0$ și $x = 1$ are aria egală cu $e + 1$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Începeți prin a simplifica expresia de sub integrală înainte de a calcula primitiva.
a)Înlocuiți funcția f(x) cu forma sa explicită în expresia (x^2 + x + 1)f(x).
a)După simplificare, veți obține o integrală mult mai simplă, pe care o puteți calcula folosind regulile de integrare a funcțiilor putere.
b)Observați structura funcției f(x) și gândiți-vă la o formulă de integrare care implică derivata unei funcții la numărător și funcția însăși la numitor.
b)Amintiți-vă că integrala de forma ∫u'(x)/u(x) dx este egală cu ln|u(x)| + C.
b)Identificați funcția u(x) din numitorul lui f(x) și verificați dacă numărătorul este derivata acesteia.
c)Primul pas este să simplificați expresia funcției g(x) înainte de a calcula aria.
c)După simplificare, veți obține o integrală de forma ∫e^x * P(x) dx. Gândiți-vă la metoda de integrare prin părți.
c)Aplicați formula de integrare prin părți ∫u dv = uv - ∫v du, alegând u și dv corespunzător pentru a simplifica calculul.