Matematică

Primitive și integrale, Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2024 · Varianta 9 · tehnologic

Primitive și integraleLimite și continuitateDerivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = (x^{2} + 1) e^{x}

a)
Arătați că $\int_{0}^{1} \frac{f ( x )}{e ^{x}} d x = \frac{4}{3}$ .
b)
Demonstrați că funcția $F : R \to R$ , $F (x) = (x^{2} - 2 x + 3) e^{x}$ este o primitivă a funcției $f$ .
c)
Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$ , axa $O x$ și dreptele de ecuații $x = 0$ și $x = 2$ are aria egală cu $3 (e^{2} - 1)$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Începe prin a simplifica expresia de sub integrală, $\frac{f ( x )}{e ^{x}}$ , folosind forma dată a funcției $f (x)$ .
a)
După simplificare, vei obține o integrală dintr-un polinom. Folosește proprietățile de liniaritate ale integralei și formula de integrare pentru puteri: $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ .
a)
Calculează integrala definită aplicând Teorema Fundamentală a Calculului Integral, evaluând primitiva obținută la limitele de integrare $1$ și $0$ .
b)
Pentru a demonstra că o funcție $F$ este o primitivă a unei funcții $f$ , trebuie să arăți că derivata lui $F$ este egală cu $f$ , adică $F^{'} (x) = f (x)$ .
b)
Funcția $F (x)$ este un produs de două funcții, $(x^{2} - 2 x + 3)$ și $e^{x}$ . Aplică regula de derivare a produsului: $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .
b)
Calculează derivata funcției $u (x) = x^{2} - 2 x + 3$ și apoi înlocuiește în formula produsului, grupând termenii pentru a obține exact expresia funcției $f (x)$ .
c)
Aria suprafeței plane delimitate de graficul unei funcții $f$ , axa $O x$ și dreptele $x = a$ , $x = b$ este dată de integrala definită $\int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$ . Verifică semnul funcției $f (x)$ pe intervalul dat.
c)
Deoarece $f (x) = (x^{2} + 1) e^{x}$ este pozitivă pe intervalul $[0, 2]$ , aria este dată de $\int_{0}^{2} f (x) d x$ . Folosește rezultatul de la subpunctul b) pentru a identifica o primitivă a funcției $f$ .
c)
Aplică Teorema Fundamentală a Calculului Integral, calculând $F (2) - F (0)$ folosind primitiva $F (x) = (x^{2} - 2 x + 3) e^{x}$ determinată la subpunctul b).

Indicii

Exersează același capitol