Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2024 · Varianta 9 · tehnologic

Primitive și integraleLimite și continuitateDerivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = (x^{2} + 1) e^{x}

a)
Arătați că $\int_{0}^{1} \frac{f ( x )}{e ^{x}} d x = \frac{4}{3}$ .
b)
Demonstrați că funcția $F : R \to R$ , $F (x) = (x^{2} - 2 x + 3) e^{x}$ este o primitivă a funcției $f$ .
c)
Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$ , axa $O x$ și dreptele de ecuații $x = 0$ și $x = 2$ are aria egală cu $3 (e^{2} - 1)$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Începeți prin a simplifica expresia de sub integrală înainte de a calcula primitiva.
a)Substituiți f(x) în integrală și observați că termenul e^x se simplifică, lăsând un polinom simplu de integrat.
a)Calculați integrala definită a polinomului rezultat, evaluând-o la limitele de integrare 0 și 1.
b)Pentru a demonstra că o funcție F este o primitivă a unei funcții f, trebuie să verificați relația fundamentală dintre ele.
b)O funcție F este o primitivă a lui f dacă F este derivabilă și F'(x) = f(x) pentru orice x din domeniu. Va trebui să aplicați regula de derivare a produsului pentru F(x).
b)Calculați derivata funcției F(x) = (x^2 - 2x + 3)e^x folosind formula (uv)' = u'v + uv' și simplificați rezultatul pentru a-l compara cu f(x).
c)Aria unei suprafețe plane delimitate de graficul unei funcții f, axa Ox și două drepte verticale este dată de o integrală definită.
c)Deoarece f(x) este pozitivă pe intervalul [0, 2], aria A este egală cu integrala definită a funcției f de la 0 la 2, adică A = ∫[0,2] f(x) dx. Puteți folosi primitiva găsită la subpunctul b).
c)Calculați integrala definită ∫[0,2] f(x) dx folosind primitiva F(x) determinată la subpunctul b) și aplicând Teorema Fundamentală a Calculului Integral: F(2) - F(0).