Matematică

Structuri algebrice — Subiectul II. 2

mediuBacalaureat 2026 · Varianta 7 · tehnologic

Structuri algebrice

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

x * y = x + y - x y + 1

a)
Arătați că $2 * 3 = 0$ .
b)
Determinați numărul real $x$ pentru care $x * 5 = 10$ .
c)
Determinați numerele naturale nenule $n$ pentru care numărul $N = \frac{3}{n} * (3 + n)$ este natural.

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a arăta că $2 * 3 = 0$ , trebuie să aplici definiția legii de compoziție dată pe mulțimea numerelor reale.
a)
Legea de compoziție este $x * y = x + y - x y + 1$ . Înlocuiește valorile $x = 2$ și $y = 3$ în această formulă.
a)
Efectuează calculele: $2 + 3 - (2 \cdot 3) + 1$ și verifică dacă rezultatul este $0$ .
b)
Problema îți cere să rezolvi o ecuație în care necunoscuta $x$ este implicată într-o operație cu legea de compoziție dată.
b)
Mai întâi, calculează expresia $x * 5$ folosind definiția $x * y = x + y - x y + 1$ . Vei obține o expresie algebrică în funcție de $x$ .
b)
Egalizează expresia obținută pentru $x * 5$ cu $10$ și rezolvă ecuația liniară rezultată pentru a determina valoarea lui $x$ .
c)
Pentru a determina numerele naturale nenule $n$ pentru care $N = \frac{3}{n} * (3 + n)$ este natural, începe prin a calcula explicit valoarea lui $N$ folosind legea de compoziție.
c)
Aplică legea $x * y = x + y - x y + 1$ cu $x = \frac{3}{n}$ și $y = 3 + n$ . Simplifică expresia algebrică rezultată pentru $N$ .
c)
După ce ai simplificat expresia lui $N$ , vei obține o formă de tipul $n + C - \frac{K}{n}$ , unde $C$ și $K$ sunt constante. Pentru ca $N$ să fie număr natural, termenul $\frac{K}{n}$ trebuie să fie un număr întreg, ceea ce implică faptul că $n$ trebuie să fie un divizor al lui $K$ . Nu uita să verifici și condiția ca $N$ să fie pozitiv sau zero, având în vedere că $n$ este natural nenul.

Structuri algebrice, din alte variante, de la ușor la greu.