Matematică

Structuri algebrice — Subiectul II. 2

mediuBacalaureat 2026 · Varianta Simulare · tehnologic

Structuri algebrice

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

x * y = x y - 3 x - 3 y + 12

a)
Arătați că $2 * 5 = 1$ .
b)
Arătați că $e = 4$ este elementul neutru al legii de compoziție „ $*$ ”.
c)
Determinați numărul real $a$ pentru care $(a - x) * (a - x) = (a + x) * (a + x)$ , pentru orice număr real $x$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a arăta că $2 * 5 = 1$ , trebuie să aplici direct definiția legii de compoziție dată, $x * y = x y - 3 x - 3 y + 12$ .
a)
Înlocuiește $x$ cu $2$ și $y$ cu $5$ în expresia legii de compoziție.
a)
Calculează valoarea expresiei $2 \cdot 5 - 3 \cdot 2 - 3 \cdot 5 + 12$ și verifică dacă rezultatul este $1$ .
b)
Reamintește-ți definiția elementului neutru $e$ pentru o lege de compoziție „ $*$ ”: $x * e = x$ și $e * x = x$ pentru orice $x$ din mulțimea dată.
b)
Pentru a demonstra că $e = 4$ este element neutru, este suficient să verifici una dintre cele două condiții, de exemplu $x * 4 = x$ , pentru orice număr real $x$ .
b)
Înlocuiește $y$ cu $4$ în expresia legii de compoziție $x * y = x y - 3 x - 3 y + 12$ și efectuează calculele pentru a arăta că obții $x$ .
c)
Începe prin a aplica definiția legii de compoziție la ambele părți ale ecuației $(a - x) * (a - x) = (a + x) * (a + x)$ .
c)
Pentru a simplifica calculele, observă că legea de compoziție poate fi rescrisă în forma $x * y = (x - 3) (y - 3) + 3$ . Folosește această formă pentru a evalua $(a - x) * (a - x)$ și $(a + x) * (a + x)$ .
c)
Egalizează cele două expresii obținute, $((a - x) - 3)^{2} + 3$ și $((a + x) - 3)^{2} + 3$ , și rezolvă ecuația rezultată pentru $a$ , ținând cont că egalitatea trebuie să fie valabilă pentru orice $x \in R$ .

Structuri algebrice, din alte variante, de la ușor la greu.