Matematică

Derivate și funcții — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2026 · Varianta 3 · tehnologic

Derivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} - 1

a)
Arătați că $f^{'} (x) = 12 x (x + 1) (x - 2)$ , $x \in R$ .
b)
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 0$ , situat pe graficul funcției $f$ .
c)
Demonstrați că $3 x^{4} + 5 \geq 4 x^{3} + 12 x^{2}$ , pentru orice $x \in (- \infty, 0]$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a arăta forma derivatei, trebuie să calculați mai întâi derivata funcției $f (x)$ folosind regulile de derivare.
a)
Folosiți regula de derivare pentru funcții putere: $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ pentru fiecare termen al funcției $f (x)$ .
a)
După ce ați calculat $f^{'} (x)$ , factorizați expresia obținută pentru a ajunge la forma $12 x (x + 1) (x - 2)$ .
b)Ecuația tangentei la graficul unei funcții într-un punct se determină folosind formula generală a ecuației unei drepte și proprietățile derivatei.
b)
Formula ecuației tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_{0}$ este $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ .
b)
Calculați valorile $f (0)$ și $f^{'} (0)$ și înlocuiți-le în formula ecuației tangentei.
c)
Pentru a demonstra o inegalitate de forma $A \geq B$ , puteți aduce toți termenii într-o parte și să analizați semnul funcției rezultate, sau să studiați monotonia funcției $f (x)$ pe intervalul dat.
c)
Rearanjați inegalitatea dată în forma $f (x) + 5 \geq 0$ sau $f (x) \geq - 5$ . Apoi, studiați funcția $f (x)$ pe intervalul $(- \infty, 0]$ folosind derivata $f^{'} (x)$ pentru a găsi valoarea minimă a funcției pe acest interval.
c)
Determinați punctele critice ale funcției $f (x)$ pe intervalul $(- \infty, 0]$ prin rezolvarea ecuației $f^{'} (x) = 0$ . Analizați semnul lui $f^{'} (x)$ pentru a stabili intervalele de monotonie și valoarea minimă a funcției $f$ pe $(- \infty, 0]$ .

Derivate și funcții, din alte variante, de la ușor la greu.