Matematică

Derivate și funcții — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2025 · Varianta 1 · tehnologic

Derivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = \frac{x - 2}{e ^{x}}

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{3 - x}{e ^{x}}$ , $x \in R$ .
b)
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 0$ , situat pe graficul funcției $f$ .
c)
Demonstrați că $- e^{x - 1} \leq x - 2 \leq e^{x - 3}$ , pentru orice $x \in [1, 4]$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula derivata unei funcții de forma $\frac{u ( x )}{v ( x )}$ , folosește formula de derivare a unui cât.
a)
Identifică $u (x) = x - 2$ și $v (x) = e^{x}$ , apoi calculează derivatele acestora, $u^{'} (x)$ și $v^{'} (x)$ .
a)
Substituie expresiile pentru $u, v, u^{'}, v^{'}$ în formula $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ și simplifică rezultatul.
b)
Ecuația tangentei la graficul unei funcții $f$ într-un punct de abscisă $x_{0}$ este dată de formula $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ .
b)
Calculează valoarea funcției $f (x)$ în $x_{0} = 0$ și valoarea derivatei $f^{'} (x)$ în $x_{0} = 0$ , folosind rezultatul de la subpunctul a).
b)
Înlocuiește valorile $x_{0}$ , $f (x_{0})$ și $f^{'} (x_{0})$ în formula ecuației tangentei și efectuează calculele pentru a obține forma finală a ecuației.
c)
Pentru a demonstra inegalitatea, analizează variația funcției $f (x)$ pe intervalul $[1, 4]$ și determină valorile sale extreme (minim și maxim).
c)
Folosește derivata $f^{'} (x)$ pentru a stabili intervalele de monotonie ale funcției și punctele de extrem local pe $[1, 4]$ . Apoi, calculează valorile funcției în punctele critice din interval și la capetele acestuia.
c)
Calculează $f (1)$ , $f (3)$ și $f (4)$ și compară-le pentru a determina intervalul în care se află $f (x)$ pe $[1, 4]$ . Apoi, rescrie inegalitatea dată în termeni de $f (x)$ pentru a o verifica.

Derivate și funcții, din alte variante, de la ușor la greu.