Matematică

Derivate și funcții — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2026 · Varianta Simulare · tehnologic

Derivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : (0, + \infty) \to R

f (x) = \frac{x ^{2} - 3}{x ^{3}}

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{9 - x ^{2}}{x ^{4}}$ , $x \in (0, + \infty)$ .
b)
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 1$ , situat pe graficul funcției $f$ .
c)
Demonstrați că $9 f (2 x) - f (x) \leq 4$ , pentru orice $x \in [1, 2]$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula derivata unei funcții de forma unui cât, folosiți regula de derivare corespunzătoare.
a)
Amintiți-vă formula de derivare a unui cât de funcții: $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .
a)
Aplicați formula pentru $u (x) = x^{2} - 3$ și $v (x) = x^{3}$ , apoi efectuați simplificările algebrice necesare pentru a ajunge la forma cerută.
b)Pentru a determina ecuația tangentei la graficul unei funcții într-un punct, aveți nevoie de valoarea funcției și a derivatei în acel punct.
b)
Ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_{0}$ este dată de formula $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ .
b)
Calculați $f (1)$ și $f^{'} (1)$ folosind expresia derivatei de la subpunctul a), apoi înlocuiți valorile în formula ecuației tangentei.
c)
Analizați monotonia funcției $f$ pe intervalul de definiție și pe intervalul $[1, 2]$ pentru a stabili limitele valorilor $f (x)$ și $f (2 x)$ .
c)
Determinați punctele critice ale funcției $f$ (unde $f^{'} (x) = 0$ ) pentru a stabili intervalele de monotonie. Veți observa că $f$ este crescătoare pe $(0, 3)$ și descrescătoare pe $(3, + \infty)$ .
c)
Folosiți faptul că $f$ este crescătoare pe $[1, 2]$ și că $f (2 x)$ are o valoare maximă pe intervalul $[2, 4]$ în punctul $x = 3/2$ (adică $2 x = 3$ ) pentru a stabili inegalitățile $f (x) \geq f (1)$ și $f (2 x) \leq f (3)$ . Apoi, calculați $9 f (3) - f (1)$ .

Derivate și funcții, din alte variante, de la ușor la greu.