Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x*y = xy/4 + 8 - x - y. Determinați perechile (m,n) de numere naturale pentru care 4^m * (n+1) = (2^2m-1) * n.

Matematică

Structuri algebrice — Subiectul II. 6

mediuBacalaureat 2026 · Varianta 7 · pedagogic

Structuri algebriceLogaritmi și exponențiale

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

x * y = \frac{x y}{4} + 8 - x - y

. Determinați perechile

(m, n)

de numere naturale pentru care

4^{m} * (n + 1) = (2^{2 m} - 1) * n

0/3

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

1
Începe prin a aplica definiția legii de compoziție $x * y = \frac{x y}{4} + 8 - x - y$ pentru fiecare membru al egalității date: $4^{m} * (n + 1)$ și $(2^{2 m} - 1) * n$ .
2
Reține că $2^{2 m}$ poate fi rescris ca $4^{m}$ . Folosește această identitate pentru a simplifica expresia $(2^{2 m} - 1)$ înainte de a aplica legea de compoziție, apoi dezvoltă și simplifică ambele părți ale egalității.
3
După ce ai efectuat calculele și ai egalat cele două expresii, simplifică ecuația rezultată pentru a obține o relație de dependență între $n$ și $m$ . Apoi, folosește condiția că $m$ și $n$ sunt numere naturale pentru a determina perechile $(m, n)$ valide.

Logaritmi și exponențiale, din alte variante, de la ușor la greu.