Matematică

Derivate și funcții — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2025 · Varianta Model · mate-info

Derivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : (0, + \infty) \to R

f (x) = \frac{l n x}{x ^{3}}

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{1 - 3 l n x}{x ^{4}}$ , $x \in (0, + \infty)$ .
b)
Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+ \infty$ la graficul funcției $f$ .
c)
Determinați mulțimea numerelor reale $m$ pentru care ecuația $f (x) = m$ are cel puțin o soluție.

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula derivata unei funcții de forma $\frac{u ( x )}{v ( x )}$ , trebuie să aplicați regula de derivare a câtului.
a)
Formula de derivare a câtului este $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .
a)
Identificați $u (x) = ln x$ și $v (x) = x^{3}$ , apoi calculați derivatele $u^{'} (x)$ și $v^{'} (x)$ pentru a le substitui în formulă.
b)
Ecuația asimptotei orizontale spre $+ \infty$ se determină calculând limita funcției când $x$ tinde la $+ \infty$ .
b)
Asimptota orizontală are ecuația $y = L$ , unde $L = lim_{x \to + \infty} f (x)$ .
b)
Calculați $lim_{x \to + \infty} \frac{l n x}{x ^{3}}$ . Aceasta este o limită de tipul $\frac{\infty}{\infty}$ , deci puteți aplica regula lui L'Hôpital.
c)
Ecuația $f (x) = m$ are cel puțin o soluție dacă și numai dacă $m$ aparține imaginii (codomeniului) funcției $f$ .
c)
Pentru a determina imaginea funcției, trebuie să studiați variația funcției folosind derivata $f^{'} (x)$ și să calculați limitele la capetele domeniului de definiție.
c)
Determinați punctele critice rezolvând ecuația $f^{'} (x) = 0$ , apoi evaluați funcția în aceste puncte și calculați $lim_{x \to 0^{+}} f (x)$ și $lim_{x \to + \infty} f (x)$ .

Derivate și funcții, din alte variante, de la ușor la greu.