Matematică

Matrice și sisteme — Subiectul II. 1

mediuBacalaureat 2025 · Varianta Model · mate-info

Matrice și sisteme

Se consideră matricele

I_{3} = 100010001

A = 0 - 1 0 00 - 1 100

și

B (x) = 10 - x x 10 0 x 1

, unde

x

este număr real.

a)
Arătați că $det A = 1$ .
b)
Arătați că $A - B (x) \cdot A = x I_{3}$ , pentru orice număr real $x$ .
c)
Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $C (x)$ astfel încât $A \cdot C (x) = B (x)$ . Arătați că $C (x) - C (y) = (y - x) A$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula determinantul unei matrice de ordinul 3, poți folosi regula lui Sarrus sau metoda dezvoltării determinantului după o linie sau o coloană.
a)Aplică regula lui Sarrus, care implică suma produselor elementelor de pe diagonalele principale și paralele, minus suma produselor elementelor de pe diagonalele secundare și paralele.
a)
Calculează produsele pe cele trei diagonale principale și pe cele trei diagonale secundare, apoi efectuează suma și diferența conform regulii lui Sarrus pentru matricea $A = 0 - 1 0 00 - 1 100$ .
b)Pentru a verifica egalitatea, trebuie să efectuezi operațiile cu matrice în ordinea corectă: mai întâi înmulțirea, apoi scăderea.
b)
Începe prin a calcula produsul matricial $B (x) \cdot A$ , reținând că înmulțirea matricelor nu este comutativă.
b)
După ce ai calculat $B (x) \cdot A$ , efectuează scăderea $A - B (x) \cdot A$ și compară rezultatul cu $x I_{3}$ , unde $I_{3}$ este matricea unitate de ordin 3.
c)
Pentru a determina matricea $C (x)$ din ecuația $A \cdot C (x) = B (x)$ , trebuie să folosești inversa matricei $A$ .
c)
Calculează inversa matricei $A$ , notată $A^{- 1}$ , folosind formula $A^{- 1} = \frac{1}{d e t A} \cdot A^{*}$ , unde $A^{*}$ este adjuncta matricei $A$ . Ai deja calculat $det A$ la subpunctul a).
c)
După ce ai aflat $A^{- 1}$ , exprimă $C (x)$ ca $A^{- 1} \cdot B (x)$ . Apoi, calculează $C (x) - C (y)$ și demonstrează că rezultatul este $(y - x) A$ prin înlocuirea lui $C (x)$ și $C (y)$ cu expresiile găsite.

Exersează același capitol

Matrice și sisteme, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 102 exerciții din Matrice și sisteme →