Matematică

Derivate și funcții — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2024 · Varianta 10 · tehnologic

Derivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : (0, + \infty) \to R

f (x) = \frac{2 x - 1}{x ^{2}}

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{2 ( 1 - x )}{x ^{3}}$ , $x \in (0, + \infty)$ .
b)
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 1$ , situat pe graficul funcției $f$ .
c)
Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula derivata unei funcții de forma f(x) = u(x)/v(x), trebuie să aplicați regula de derivare a câtului.
a)Formula de derivare a câtului este (u/v)' = (u'v - uv') / v². Identificați corect u(x) și v(x).
a)Calculați derivatele u'(x) și v'(x) pentru u(x) = 2x-1 și v(x) = x², apoi înlocuiți-le în formulă și simplificați expresia obținută.
b)Ecuația tangentei la graficul unei funcții într-un punct necesită cunoașterea coordonatelor punctului și a pantei tangentei în acel punct.
b)Panta tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x₀ este dată de f'(x₀). Ecuația tangentei este y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀).
b)Calculați valoarea funcției f(1) și valoarea derivatei f'(1), apoi înlocuiți-le în formula ecuației tangentei.
c)Pentru a determina intervalele de monotonie ale unei funcții, trebuie să analizați semnul primei derivate a funcției.
c)Funcția este crescătoare pe intervalele unde f'(x) > 0 și descrescătoare pe intervalele unde f'(x) < 0. Punctele critice sunt cele unde f'(x) = 0.
c)Rezolvați ecuația f'(x) = 0 pentru a găsi punctele critice, apoi studiați semnul lui f'(x) pe intervalele determinate de aceste puncte în domeniul (0, +∞).