Matematică

Derivate și funcții, Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2024 · Varianta 10 · tehnologic

Derivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : (0, + \infty) \to R

f (x) = \frac{2 x - 1}{x ^{2}}

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{2 ( 1 - x )}{x ^{3}}$ , $x \in (0, + \infty)$ .
b)
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 1$ , situat pe graficul funcției $f$ .
c)
Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula derivata unei funcții de forma $\frac{u ( x )}{v ( x )}$ , trebuie să folosiți formula derivatei unui cât.
a)
Formula derivatei unui cât este $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ . Aplicați această formulă pentru $u (x) = 2 x - 1$ și $v (x) = x^{2}$ .
a)
După aplicarea formulei, efectuați calculele și simplificați expresia obținută pentru a ajunge la forma cerută, $f^{'} (x) = \frac{2 ( 1 - x )}{x ^{3}}$ .
b)
Ecuația tangentei la graficul unei funcții $f$ într-un punct de abscisă $x_{0}$ este dată de formula $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ .
b)
Pentru a aplica formula, trebuie să calculați valoarea funcției $f (x_{0})$ și valoarea derivatei $f^{'} (x_{0})$ în punctul dat. Aici, $x_{0} = 1$ .
b)
Calculați $f (1)$ folosind expresia funcției $f (x)$ și $f^{'} (1)$ folosind expresia derivatei $f^{'} (x)$ obținută la subpunctul a), apoi înlocuiți valorile în formula tangentei.
c)Intervalele de monotonie ale unei funcții sunt determinate de semnul primei derivate a funcției.
c)
Pentru a găsi punctele critice, egalați derivata $f^{'} (x)$ cu zero și rezolvați ecuația. Aceste puncte vor delimita intervalele pe care trebuie să studiați semnul derivatei.
c)
Analizați semnul lui $f^{'} (x) = \frac{2 ( 1 - x )}{x ^{3}}$ pe intervalele determinate, ținând cont de domeniul de definiție al funcției $(0, + \infty)$ , pentru a stabili unde funcția este crescătoare ( $f^{'} (x) \geq 0$ ) și unde este descrescătoare ( $f^{'} (x) \leq 0$ ).

Exersează același capitol

Derivate și funcții, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 52 de exerciții din Derivate și funcții →