Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2024 · Varianta Model · mate-info

Primitive și integraleNumere reale și radicali

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = \frac{x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

a)
Arătați că $\int_{1}^{3} f (x) (x^{2} + 1)^{2} d x = 4$ .
b)
Arătați că $\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{1}{4}$ .
c)
Pentru fiecare număr natural nenul $n$ , se consideră numărul $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} x f (x) d x$ . Arătați că $I_{n} - I_{n + 4} = \frac{2}{( n + 2 ) ( n + 4 )}$ , pentru orice număr natural nenul $n$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Începeți prin a substitui expresia lui $f (x)$ în integrală și observați ce simplificări se pot face.
a)
După simplificare, veți obține o integrală de bază a unei funcții putere: $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ .
a)
Aplicați formula de integrare pentru $x$ și apoi teorema fundamentală a calculului integral pentru a evalua la limitele $1$ și $3$ .
b)Această integrală poate fi rezolvată folosind metoda substituției sau recunoscând o formă de derivată standard.
b)
Observați că numărătorul, $x$ , este legat de derivata expresiei din paranteza de la numitor, $x^{2} + 1$ . Puteți folosi substituția $u = x^{2} + 1$ .
b)
Dacă $u = x^{2} + 1$ , atunci $d u = 2 x d x$ . Rescrieți integrala în funcție de $u$ , calculați primitiva și evaluați la noile limite sau reveniți la variabila $x$ .
c)
Primul pas este să simplificați expresia $x f (x)$ pentru a obține o formă mai simplă a integralei $I_{n}$ . Nu uitați că $x \in [0, 1]$ .
c)
Calculați diferența $I_{n} - I_{n + 4}$ și aduceți la același numitor. Veți observa că puteți factoriza $1 - x^{4}$ și simplifica cu numitorul $x^{2} + 1$ .
c)
După simplificare, veți obține o integrală de sumă/diferență de funcții putere. Integrați termenii și aplicați formula Leibniz-Newton pentru limitele de integrare de la $0$ la $1$ .

Primitive și integrale, din alte variante, de la ușor la greu.