Matematică

Structuri algebrice — Subiectul II. 2

mediuBacalaureat 2024 · Varianta Model · mate-info

Structuri algebriceMulțimiNumere reale și radicali

Pe mulțimea

M = [3, + \infty)

se definește legea de compoziție

x \circ y = m (x - 3) (y - 3) + 3

, unde

m \in (0, + \infty)

a)
Arătați că $3 \circ 5 = 3$ , pentru orice $m \in (0, + \infty)$ .
b)
Pentru $m = 2$ , arătați că $e = \frac{7}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „ $\circ$ ”.
c)
Se consideră funcția $f : M \to M$ , $f (x) = 3 + x - 3$ . Pentru $m = 1$ , arătați că $f (x \circ y) = f (x) \circ f (y)$ , pentru orice $x, y \in M$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula $3 \circ 5$ , trebuie să înlocuiești valorile $x = 3$ și $y = 5$ în definiția legii de compoziție date.
a)
Scrie explicit expresia pentru $3 \circ 5$ folosind formula $x \circ y = m (x - 3) (y - 3) + 3$ .
a)
Efectuează substituțiile și calculează termenii din paranteze: $(3 - 3)$ și $(5 - 3)$ . Vei observa o simplificare semnificativă.
b)
Reamintește-ți definiția elementului neutru $e$ pentru o lege de compoziție: $x \circ e = e \circ x = x$ pentru orice $x$ din mulțimea dată.
b)
Pentru a arăta că $e = \frac{7}{2}$ este element neutru când $m = 2$ , trebuie să verifici, de exemplu, că $x \circ \frac{7}{2} = x$ pentru orice $x \in M$ .
b)
Înlocuiește $m = 2$ și $y = \frac{7}{2}$ în formula legii de compoziție $x \circ y = m (x - 3) (y - 3) + 3$ și simplifică expresia obținută.
c)
Pentru a demonstra egalitatea $f (x \circ y) = f (x) \circ f (y)$ , trebuie să calculezi separat cele două părți ale egalității și să arăți că sunt egale.
c)
Începe prin a calcula $f (x \circ y)$ folosind legea de compoziție pentru $m = 1$ și apoi aplicând funcția $f$ . Apoi, calculează $f (x) \circ f (y)$ aplicând legea de compoziție asupra imaginilor $f (x)$ și $f (y)$ .
c)
Pentru $f (x \circ y)$ , înlocuiește $x \circ y = (x - 3) (y - 3) + 3$ în formula funcției $f (z) = 3 + z - 3$ . Pentru $f (x) \circ f (y)$ , înlocuiește $f (x)$ și $f (y)$ în legea de compoziție cu $m = 1$ , adică $a \circ b = (a - 3) (b - 3) + 3$ .

Structuri algebrice, din alte variante, de la ușor la greu.