Matematică

Matrice și sisteme — Subiectul II. 1

mediuBacalaureat 2024 · Varianta Model · mate-info

Matrice și sisteme

Se consideră matricele

I_{3} = 100010001

și

A (a) = 0 a 1 0 - 1 0 1 a 0

, unde

a

este număr real.

a)
Arătați că $det (A (1)) = 1$ .
b)
Arătați că $A (a) \cdot A (b) = A (a) - A (b) + I_{3}$ , pentru orice numere reale $a$ și $b$ .
c)
Determinați matricea $X \in M_{3} (R)$ pentru care $A (1) \cdot X \cdot A (0) = I_{3}$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula determinantul unei matrice, trebuie să identifici mai întâi matricea $A (1)$ prin înlocuirea valorii $a = 1$ în expresia lui $A (a)$ .
a)Reține regula lui Sarrus sau metoda dezvoltării determinantului după o linie sau o coloană pentru a calcula determinantul unei matrice de ordinul 3.
a)
Aplică regula aleasă matricei $A (1) = 011 0 - 1 0 110$ și efectuează calculele cu atenție.
b)Această problemă necesită efectuarea de operații cu matrice: înmulțirea matricelor și adunarea/scăderea matricelor.
b)
Începe prin a calcula produsul matricial $A (a) \cdot A (b)$ . Reține că fiecare element al matricei produs este suma produselor elementelor de pe linia $i$ din prima matrice cu elementele de pe coloana $j$ din a doua matrice.
b)
După ce ai calculat $A (a) \cdot A (b)$ , calculează și expresia din partea dreaptă a egalității, $A (a) - A (b) + I_{3}$ , și apoi compară cele două rezultate pentru a demonstra egalitatea.
c)
Pentru a determina matricea $X$ dintr-o ecuație matricială de tipul $A \cdot X \cdot B = C$ , trebuie să folosești proprietățile matricelor inverse.
c)
Multiplică ecuația dată la stânga cu inversa matricei $A (1)$ și la dreapta cu inversa matricei $A (0)$ . Astfel, vei obține $X = A (1)^{- 1} \cdot I_{3} \cdot A (0)^{- 1}$ .
c)
Verifică dacă matricele $A (1)$ și $A (0)$ au proprietatea că sunt egale cu propriile lor inverse, adică $A (k) \cdot A (k) = I_{3}$ . Poți folosi rezultatul de la subpunctul b) pentru a simplifica acest calcul.

Exersează același capitol

Matrice și sisteme, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 102 exerciții din Matrice și sisteme →