Matematică

Derivate și funcții — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2024 · Varianta Model · mate-info

Derivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : (1, + \infty) \to R

f (x) = x - \frac{e ^{- x}}{x - 1}

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{( x - 1 ) ^{2} + x e ^{- x}}{( x - 1 ) ^{2}}$ , $x \in (1, + \infty)$ .
b)
Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+ \infty$ la graficul funcției $f$ .
c)
Demonstrați că funcția $f$ este bijectivă.

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula derivata funcției $f (x) = x - \frac{e ^{- x}}{x - 1}$ , trebuie să aplicați regulile de derivare pentru sumă/diferență și pentru cât.
a)
Folosiți formula $(u - v)^{'} = u^{'} - v^{'}$ și formula derivatei unui cât $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ . De asemenea, nu uitați că $(e^{- x})^{'} = - e^{- x}$ .
a)
Calculați separat derivata lui $x$ , care este $1$ , și apoi aplicați regula câtului pentru termenul $\frac{e ^{- x}}{x - 1}$ , având grijă la semnul minus din fața fracției.
b)
Pentru a determina ecuația asimptotei oblice spre $+ \infty$ la graficul funcției $f$ , trebuie să calculați două limite.
b)
Ecuația asimptotei oblice este de forma $y = m x + n$ , unde $m = lim_{x \to + \infty} \frac{f ( x )}{x}$ și $n = lim_{x \to + \infty} (f (x) - m x)$ .
b)
Calculați mai întâi $m = lim_{x \to + \infty} \frac{x - \frac{e ^{- x}}{x - 1}}{x}$ . Simplificați expresia înainte de a evalua limita, observând cum se comportă termenul cu $e^{- x}$ când $x \to + \infty$ .
c)Pentru a demonstra că o funcție este bijectivă, trebuie să arătați că este atât injectivă, cât și surjectivă.
c)Injectivitatea unei funcții continue pe un interval poate fi demonstrată arătând că funcția este strict monotonă (strict crescătoare sau strict descrescătoare) pe acel interval. Surjectivitatea se poate deduce din continuitate și din limitele funcției la capetele intervalului de definiție.
c)
Folosiți derivata $f^{'} (x)$ calculată la subpunctul a) pentru a stabili monotonia funcției $f$ . Apoi, calculați $lim_{x \to 1^{+}} f (x)$ și $lim_{x \to + \infty} f (x)$ pentru a determina imaginea funcției.

Exersează același capitol

Derivate și funcții, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 52 de exerciții din Derivate și funcții →