Matematică

Matrice și sisteme — Subiectul II. 1

mediuBacalaureat 2026 · Varianta Simulare · tehnologic

Matrice și sisteme

Se consideră matricele

I_{2} = (1001)

și

M (a) = (2 a a a a - 2)

, unde

a

este număr real.

a)
Arătați că $det (M (4)) = 0$ .
b)
Arătați că $M (1) \cdot M (1) - M (1) = 3 I_{2}$ .
c)
Demonstrați că numărul $N = det (M (n) - 3 (M (1))^{- 1})$ este natural impar, pentru orice număr natural nenul $n$ , unde $(M (1))^{- 1}$ este inversa matricei $M (1)$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula determinantul unei matrice, trebuie să știi formula specifică pentru matrice de ordinul 2.
a)
Reține că pentru o matrice $A = (a c b d)$ , determinantul este $det (A) = a d - b c$ .
a)
Înlocuiește $a = 4$ în expresia matricei $M (a)$ pentru a obține $M (4)$ , apoi aplică formula determinantului.
b)Exercițiul implică operații cu matrice: substituție, înmulțire și scădere.
b)
Începe prin a determina matricea $M (1)$ , apoi efectuează înmulțirea matricelor $M (1) \cdot M (1)$ .
b)
După ce ai calculat $M (1) \cdot M (1)$ , efectuează scăderea $M (1) \cdot M (1) - M (1)$ și verifică dacă rezultatul este $3 I_{2}$ .
c)
Pentru a calcula $N$ , va trebui să găsești inversa matricei $M (1)$ , apoi să efectuezi operațiile cu matrice și, în final, să calculezi determinantul.
c)
Formula pentru inversa unei matrice $A = (a c b d)$ este $A^{- 1} = \frac{1}{d e t ( A )} (d - c - b a)$ . Calculează mai întâi $det (M (1))$ .
c)
Determină $(M (1))^{- 1}$ , apoi calculează matricea $M (n) - 3 (M (1))^{- 1}$ . Calculează determinantul acestei matrice și simplifică expresia lui $N$ pentru a demonstra că este un număr natural impar.

Matrice și sisteme, din alte variante, de la ușor la greu.