Matematică

Matrice și sisteme — Subiectul II. 1

mediuBacalaureat 2025 · Varianta 1 · tehnologic

Matrice și sistemeEcuații și inecuații

Se consideră matricele

A = (5221)

B = (53 3 - 1)

și

I_{2} = (1001)

a)
Arătați că $det A = 1$ .
b)
Determinați numărul real $x$ pentru care $3 A - 5 I_{2} = x B$ .
c)
Determinați mulțimea numerelor reale $x$ pentru care $det (A \cdot (B - A) + x I_{2}) \leq 2$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a arăta că $det A = 1$ , trebuie să calculezi determinantul unei matrice de ordinul doi.
a)
Reține formula pentru determinantul unei matrice $M = (a c b d)$ , care este $a d - b c$ .
a)
Aplică această formulă pentru matricea $A = (5221)$ folosind elementele sale specifice.
b)Această problemă implică operații cu matrice: înmulțirea unei matrice cu un scalar și scăderea matricelor.
b)
Începe prin a calcula explicit matricea din partea stângă a ecuației, $3 A - 5 I_{2}$ . Nu uita că $I_{2}$ este matricea unitate.
b)
După ce ai obținut matricea $3 A - 5 I_{2}$ , egalează-o cu $x B$ și folosește egalitatea element cu element pentru a determina valoarea lui $x$ .
c)Pentru a rezolva această inecuație, va trebui să efectuezi mai multe operații cu matrice: scădere, înmulțire, adunare și calcul de determinant, urmate de rezolvarea unei inecuații de gradul doi.
c)
Începe prin a calcula matricea $B - A$ , apoi efectuează produsul $A \cdot (B - A)$ . La rezultatul obținut, adună matricea $x I_{2}$ .
c)
Calculează determinantul matricei rezultate, $det (A \cdot (B - A) + x I_{2})$ . Vei obține o expresie de gradul doi în $x$ . Apoi, rezolvă inecuația $det (A \cdot (B - A) + x I_{2}) \leq 2$ pentru a găsi mulțimea valorilor lui $x$ .

Matrice și sisteme, din alte variante, de la ușor la greu.