Matematică

Matrice și sisteme — Subiectul II. 1

mediuBacalaureat 2025 · Varianta 9 · științe ale naturii

Matrice și sisteme

Se consideră matricele

I_{2} = (1001)

și

A (x) = (1 - x - x 3 x 1 + 4 x)

, unde

x

este număr real.

a)
Arătați că $det (A (2)) = 3$ .
b)
Arătați că $x A (y) - A (x y) = (x - 1) I_{2}$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .
c)
Determinați numerele reale $x$ pentru care $A (1) \cdot A (x - 1) = x A (x)$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula $det (A (2))$ , trebuie mai întâi să determini explicit matricea $A (2)$ .
a)
Înlocuiește $x = 2$ în expresia matricei $A (x)$ pentru a obține $A (2)$ . Apoi, reține că determinantul unei matrice $2 \times 2$ , $(a c b d)$ , este $a d - b c$ .
a)
Calculează elementele matricei $A (2)$ și aplică formula determinantului pentru a ajunge la valoarea cerută.
b)
Pentru a demonstra egalitatea, calculează expresia din partea stângă, $x A (y) - A (x y)$ , și arată că este egală cu expresia din partea dreaptă, $(x - 1) I_{2}$ .
b)
Determină mai întâi matricele $A (y)$ și $A (x y)$ prin substituirea corespunzătoare a variabilei în $A (x)$ . Apoi, efectuează înmulțirea scalară $x A (y)$ și, în final, scăderea matricelor.
b)
Scrie explicit matricele $A (y)$ și $A (x y)$ și apoi efectuează operațiile $x A (y) - A (x y)$ element cu element. Vei observa că rezultatul poate fi scris sub forma $(x - 1) I_{2}$ .
c)
Aceasta este o ecuație matriceală. Va trebui să calculezi ambele părți ale egalității, $A (1) \cdot A (x - 1)$ și $x A (x)$ , și apoi să egalezi elementele corespondente ale matricelor rezultate.
c)
Calculează explicit matricele $A (1)$ și $A (x - 1)$ prin înlocuirea valorilor corespunzătoare în $A (x)$ . Apoi, efectuează produsul $A (1) \cdot A (x - 1)$ și, separat, calculează $x A (x)$ .
c)
După ce ai calculat ambele părți ale egalității, vei obține o ecuație matriceală. Egalează elementele corespondente din cele două matrici pentru a forma un sistem de ecuații în $x$ și rezolvă-l.

Exersează același capitol

Matrice și sisteme, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 102 exerciții din Matrice și sisteme →