Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2025 · Varianta Model · tehnologic

Primitive și integrale

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = 2 x + 3

a)
Arătați că $\int_{0}^{1} (f (x) - 3) d x = 1$ .
b)
Arătați că $\int_{0}^{1} e^{x} f (x) d x = 3 e - 1$ .
c)
Determinați $a \in (0, + \infty)$ pentru care $\int_{1}^{2} \frac{f ( x )}{x ( x + 3 )} d x = ln \frac{a}{2}$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Începeți prin a înlocui expresia funcției $f (x)$ în integrala dată.
a)Simplificați expresia de sub integrală pentru a obține o funcție mai simplă de integrat.
a)
Calculați integrala definită a funcției polinomiale rezultate, folosind formula Newton-Leibniz pe intervalul $[0, 1]$ .
b)Pentru a rezolva această integrală, va trebui să aplicați metoda integrării prin părți.
b)
Alegeți $u = 2 x + 3$ și $d v = e^{x} d x$ pentru a aplica formula integrării prin părți: $\int u d v = uv - \int v d u$ .
b)
După aplicarea formulei, veți obține o nouă integrală mai simplă, pe care o puteți calcula direct, apoi evaluați expresia pe intervalul $[0, 1]$ .
c)Analizați cu atenție forma integralei; observați relația dintre numărător și numitor.
c)
Verificați dacă numărătorul este derivata numitorului. Dacă $g (x) = x (x + 3)$ , calculați $g^{'} (x)$ .
c)
Folosiți proprietatea $\int \frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )} d x = ln ∣ g (x) ∣ + C$ pentru a calcula integrala definită și apoi egalați rezultatul cu $ln \frac{a}{2}$ pentru a-l determina pe $a$ .

Primitive și integrale, din alte variante, de la ușor la greu.