Matematică

Derivate și funcții — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2025 · Varianta Model · tehnologic

Derivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : (1, + \infty) \to R

f (x) = \frac{5 x - 2}{x - 1}

a)
Arătați că $f^{'} (x) = - \frac{3}{( x - 1 ) ^{2}}$ , $x \in (1, + \infty)$ .
b)
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 2$ , situat pe graficul funcției $f$ .
c)
Demonstrați că funcția $f$ este convexă.

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula derivata unei funcții de forma unei fracții, trebuie să folosiți regula de derivare a câtului a două funcții.
a)
Formula de derivare a câtului este $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .
a)
Identificați $u (x) = 5 x - 2$ și $v (x) = x - 1$ , calculați derivatele acestora, apoi înlocuiți-le în formula de derivare a câtului.
b)Ecuația tangentei la graficul unei funcții într-un punct dat este determinată de panta tangentei și de coordonatele punctului de tangență.
b)
Formula generală a ecuației tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_{0}$ este $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ .
b)
Calculați valoarea funcției $f (2)$ și valoarea derivatei $f^{'} (2)$ (folosind rezultatul de la subpunctul a), apoi înlocuiți-le în formula ecuației tangentei.
c)Pentru a demonstra că o funcție este convexă pe un interval, trebuie să analizați semnul derivatei a doua a funcției pe acel interval.
c)
O funcție este convexă pe un interval dacă derivata sa a doua, $f^{''} (x)$ , este mai mare sau egală cu zero pentru orice $x$ din acel interval.
c)
Calculați derivata a doua $f^{''} (x)$ pornind de la expresia lui $f^{'} (x)$ obținută la subpunctul a), apoi determinați semnul acesteia pentru $x \in (1, + \infty)$ .

Derivate și funcții, din alte variante, de la ușor la greu.