Matematică

Matrice și sisteme — Subiectul II. 1

mediuBacalaureat 2025 · Varianta 9 · tehnologic

Matrice și sistemeEcuații și inecuații

Se consideră matricele

I_{2} = (1001)

și

A (x) = (2 - x x - 2)

, unde

x

este număr real.

a)
Arătați că $det (A (5)) = 21$ .
b)
Arătați că $2 A (- 1) + A (5) = 3 A (1)$ .
c)
Determinați mulțimea numerelor reale $x$ pentru care $det (A (x) \cdot A (- x) - x^{2} I_{2}) \geq 0$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula determinantul unei matrice, trebuie să știi formula specifică pentru matricele de ordinul 2.
a)
Dacă ai o matrice $M = (a c b d)$ , determinantul său este dat de formula $det (M) = a d - b c$ .
a)
Substituie valoarea $x = 5$ în expresia matricei $A (x)$ pentru a obține $A (5)$ , apoi aplică formula determinantului.
b)Acest subpunct implică operații cu matrice: înmulțirea unei matrice cu un scalar și adunarea a două matrice.
b)Reține că înmulțirea unei matrice cu un scalar se face prin înmulțirea fiecărui element al matricei cu scalarul, iar adunarea matricelor se face element cu element.
b)
Calculează separat matricele $A (- 1)$ , $A (5)$ și $A (1)$ , apoi efectuează operațiile din partea stângă a egalității ( $2 A (- 1) + A (5)$ ) și din partea dreaptă ( $3 A (1)$ ) și compară rezultatele.
c)
Începe prin a simplifica expresia din interiorul determinantului, pas cu pas: mai întâi calculează produsul matricial $A (x) \cdot A (- x)$ , apoi scade matricea $x^{2} I_{2}$ .
c)
Reține că $I_{2} = (1001)$ și că înmulțirea matricelor se face 'rând cu coloană'.
c)
Calculează $A (- x)$ prin înlocuirea lui $x$ cu $- x$ în expresia lui $A (x)$ , apoi efectuează produsul $A (x) \cdot A (- x)$ . Scade $x^{2} I_{2}$ din matricea rezultată, calculează determinantul final și rezolvă inecuația obținută.

Matrice și sisteme, din alte variante, de la ușor la greu.