Matematică

Derivate și funcții — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2025 · Varianta 9 · tehnologic

Derivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : (0, + \infty) \to R

f (x) = 2 x^{2} - 1 + \frac{4}{x}

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{4 ( x ^{3} - 1 )}{x ^{2}}$ , $x \in (0, + \infty)$ .
b)
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 2$ , situat pe graficul funcției $f$ .
c)
Arătați că $6 \leq 2 x^{2} + \frac{4}{x} \leq 33$ , pentru orice $x \in [\frac{1}{4}, 4]$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula derivata funcției $f (x)$ , folosiți regulile de derivare pentru sume, diferențe și funcții de putere.
a)
Amintiți-vă că $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ și că derivata unei constante este $0$ . De asemenea, rețineți că $(\frac{c}{x})^{'} = - \frac{c}{x ^{2}}$ .
a)
Aplicați aceste reguli termen cu termen pentru $f (x) = 2 x^{2} - 1 + \frac{4}{x}$ și apoi aduceți la un numitor comun pentru a obține forma cerută.
b)
Ecuația tangentei la graficul unei funcții $f$ într-un punct de abscisă $x_{0}$ este dată de formula $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ .
b)
Pentru a aplica formula, trebuie să calculați valoarea funcției în punctul dat, $f (2)$ , și valoarea derivatei funcției în acel punct, $f^{'} (2)$ .
b)
Folosiți expresia lui $f (x)$ pentru a găsi $f (2)$ și expresia lui $f^{'} (x)$ (demonstrată la subpunctul a)) pentru a găsi $f^{'} (2)$ , apoi înlocuiți în formula tangentei.
c)
Pentru a demonstra o inegalitate de forma $A \leq g (x) \leq B$ pe un interval închis, puteți determina valorile minimă și maximă ale funcției $g (x)$ pe acel interval.
c)
Identificați funcția $g (x) = 2 x^{2} + \frac{4}{x}$ . Observați că $g (x) = f (x) + 1$ . Determinați punctele critice ale lui $f (x)$ (unde $f^{'} (x) = 0$ ) în intervalul $[\frac{1}{4}, 4]$ și evaluați $f (x)$ în aceste puncte și la capetele intervalului.
c)
Calculați $f (\frac{1}{4})$ , $f (4)$ și $f (x_{0})$ pentru orice $x_{0}$ din interval unde $f^{'} (x_{0}) = 0$ . Apoi, determinați valoarea minimă și maximă a lui $f (x)$ pe interval și adăugați $1$ la aceste valori pentru a obține limitele pentru $2 x^{2} + \frac{4}{x}$ .

Exersează același capitol

Derivate și funcții, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 52 de exerciții din Derivate și funcții →